Качественные и численные методы исследования математических моделей динамических систем, описываемых дифференциальными уравнениями с почти периодическими коэффициентами

• Автор: Пронькин, Валентин Семенович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 266 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ7.

КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ И ПОСТАНОВКА ОСНОВНЫХ ПРОБЛЕМ.

1.1 Задачи физического и технического характера, приводящие к моделям

Риккати

1.2 Общая характеристика диссертации

СУЩЕСТВОВАНИЕ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ МАТРИЧНО ВЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ РИККАТИ С НЕЧТНЫМИ КВАЗИПЕРИО

ДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

2.1 Обобщение метода Блинова Канторовича

1. Свойства линейных операторов в банаховых пространствах.

2. Основная теорема.

2.2 Вспомогательные утверждения.
1. Основные понятия.
2. Оценки норм линейных операторов
2.3 Разрешимость одной операторной модели
1. Разрешимость операторной модели вида 2ихРО0.
2. Норма одного линейного оператора.
3. Разрешимость операторной модели типа
2.4. Приводимость по Ляпунову модели типа 3.
1. Применение обобщенного метода КанторовичаБлинова к доказательству существования квазипериодического решения модели типа 1 . 2.риводимость модели типа 3 по Ляпунову.
КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ МАТРИЧНОВЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ РИККАТИ
3.1 Модификации метода КанторовичаБлинова
1. Основные понятия
2. Сходимость метода КанторовичаБлинова.
3.2. Существование квазипериодических решений нелинейной дифферен
циальной модели
1. Некоторые утверждения.
2. Свойства некоторых линейных операторов и оценки их норм
3. Квазипериодические решения одной нелинейной модели
4. Квазипериодическое решение модели Риккати.
3.3. Существование квазипериодических решений одной матрично век
торной модели Риккати
1. Разрешимость модели типа
2. Квазипериодические решения матричновекторной модели Риккати 0 3.4 Приводимость по Ляпунову модели типа 7
ГЛАВА
ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ МОДЕЛЕЙ В ПРОБЛЕМЕ ПРИВОДИМОСТИ ПО ЛЯПУНОВУ.
4.1 Приводимость по Ляпунову модели типа
1. Об одном классе почти периодических функций
2. Оценки норм некоторых линейных операторов.
3. Почти периодические решения модели типа
4. Разрешимость модели типа .
5. Почти периодические решения матричной модели типа 9.
6. Приводимость по Ляпунову модели типа 8.
4.2. Приводимость по Ляпунову моделей типа
1. Некоторые свойства линейных операторов и оценки их норм
2. Почти периодические решения модели типа .
3. Разрешимость одного модели типа .
4. Почти периодические решения модели типа .
5. Приводимость по Ляпунову модели типа
ПРИВОДИМОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ПО ЛЯПУНОВУ
НА ИСКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ ЛУЧАХ
5.1. Интегрируемый случай
1. Вспомогательные утверждения
2. Приводимость по Ляпунову модели с треугольной матрицей.
5.2. Неинтегрируемый случай.
1. Фундаментальная матрица решений одной линейной дифференциальной модели
2. Квазииериодическое решение скалярной модели Риккати.
3. Приводимость по Ляпунову на исключительных лучах
ПРИБЛИЖЕННОАНАЛИТИЧЕСКИЕ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ МОДЕЛЕЙ РИККАТИ.
6.1. Приближенноаналитические методы решения моделей Риккати
1. Метод НьютонаКанторовича
2. Решение модели Риккати методом квазилинеаризации.
6.2. Модификации и усовершенствования некоторых методов решения
моделей Риккати
1. Приближенное интегрирование одной матричной модели Риккати
2. Определение установившегося решения матричной модели Риккати
с постоянными параметрами
3. Численноаналитическое решение матричной модели Риккати
ПРИЛОЖЕНИЕ. Нахождение коэффициента отражения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА


М. Самойленко в ставят задачу всестороннего исследования приводимости почти периодических моделей 7, т. К настоящему времени в этом направлении имеются отдельные результаты . Задача определения коэффициента волнового отражения. Точные решения задачи об отражении волны от неоднородного слоя найдены всего лишь для нескольких случаев. Хотя исследование этих случаев имеет весьма большое значение и раскрывает ряд важных закономерностей, это не снимает вопроса об исследовании отражения волн, от слоев, в которых зависимость параметров среды от координаты 2 может быть произвольной. Существенно также то, что в реальных случаях параметры среды не остаются постоянными, а испытывают с течением времени как систематические изменения, так и изменения флуктуационного характера. Необходимо знать, как эти изменения сказываются на коэффициенте волнового отражения. При этом нельзя обойтись без исследования коэффициента отражения от слоев с произвольным законом изменения параметров. Отметим, что даже небольшие изменения в этом законе могут существенно сказываться на коэффициенте отражения. Исследование коэффициента отражения плоской волны имеет большое значение также и для решения задачи о поле точечного излучателя в слоистонеоднородной среде, поскольку сферическая волна может быть разложена на плоские. Рассмотрим здесь метод, предложенный Л. М. Бреховских . Пусть зависимость параметров среды от координаты 2 дается функциями е в электромагнитном случае и р рг, сс2 в акустике. Здесь е диэлектрическая постоянная среды в общем случае комплексная величина, р и с плотность среды и скорость распространения звука в ней. Будем предполагать, что при г оо и г со параметры среды стремятся к постоянным значениям, равным соответственно е0, р0, с0 и е1 , р , с, . Пусть при г оо задана плоская волна, распространяющаяся в сторону положительных г падающая волна. Ее угол падения угол, образуемый нормалью к фронту волны с осью г обозначим через . В общем случае уравнения электромагнитного и акустического полей могут быть удовлетворены только при допущении, что при 2 о существует также отраженная волна. Нашей задачей будет являться отыскание отношения комплексных амплитуд отраженной и падающей волн, т. При этом мы не пойдем по обычному пути, согласно которому нужно было бы написать волновое уравнение для поля и попытаться его решить. В конечном счете нам нужно знать не поле, а только лишь коэффициент отражения, для которого оказывается возможным получение специальной модели . Рассмотрим сначала электромагнитный случай и предположим, что вектор электрического поля направлен перпендикулярно плоскости падения. Совместим с этим направлением также ось у. Магнитная проницаемость ц в этих уравнениях положена равной единице. Падающую и отраженную волны в любой точке определим следующим образом. Н Р i xi0i9x. Рг и произвольные функции. Ех Ну 0. Подстановкой 1. Максвелла, если выполнены следующие условия. Последняя зависимость является законом Снеллиуса. В тех случаях, когда параметры среды меняются настолько медленно, что волне можно сопоставить луч, 9 будет углом наклона этого луча в произвольной точке по отношению к вертикали. Уравнение 1. Р к, vVi2,
г. Здесь и в дальнейшем штрихом обозначается дифференцирование по . Умножая первое из уравнений 1. К у И1. Если рассмотреть случай звуковой волны, то при естественных предположениях коэффициент отражения волны также будет определяться моделью Риккати. Задача определения матричного коэффициента отражения линии электропередачи. Рассмотрим высоковольтные линии для передачи электроэнергии на промышленной частоте гц и информации высокочастотным каналам. Гяи, 0х1 , 1. Ухматрицы погонных сопротивлений и проводимостей в точке х линии. Порядок матриц и размерность векторов равны числу проводов п. В случае однородной многопроводной линии электропередачи известны падающие и отраженные волны волновых каналов линии. Матричный принцип Даламбера, играющий важную роль в теории распространения волн в многопроводных линиях, можно сформулировать так решение любой граничной задачи для матричных телеграфных уравнений 1.