Численное моделирование нелинейных процессов теплопроводности с фазовыми превращениями

• Автор: Кадыров, Рафаэль Фаридович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Введение

1 Задача Стефана

1.1 Классическая постановка.

1.2 Обобщенная постановка.

1.3 Теорема сравнения.

2 Задача о непрерывной выплавке стали

2.1 Прямая задача.

2.1.1 Поточечная формулировка

2.1.2 Дискретизация по времени.

2.1.3 МКЭаппроксимация

2.1.4 Неявная схема Эйлера.

2.1.5 Выбор начального приближения.
2.1.6 Явная схема Эйлера с переменными шагами по времени
2.1.7 Численные результаты.
2.2 Задача оптимального управления .
2.2.1 Общая постановка задачи оптимального управления
2.2.2 Оптимальное управление процессом выплавки стали
2.2.3 Получение градиентной информации. Сопряженное
состояние.
2.2.4 Метод наискорейшего спуска.
2.2.5 Метод редукции.
2.2.6 Численные результаты.
3 Расчет теплового поля при электроннолучевой сварке пластин
3.1 Постановка задачи.
3.2 Вспомогательная задача
3.3 МКЭ аппроксимация.
3.3.1 Слабая постановка
3.3.2 Триангуляция области.
3.3.3 Дискретизация уравнений
3.3.4 Регуляризация стационарной задачи
3.4 Численные результаты
Приложение
Основные выводы и результаты работы
Обозначения
В евклидовом пространстве мерных вещественных векторов через 1,0,., 0, е 0,1,0, 0, .,еп 0,., 0,1 мы обозначаем его единичный базис.
, , V область, т. е. открытое связное подмножество в Шп
i множество внутренних точек П
замыкание
i граница области
мера Лебега области
СкП множество к раз непрерывно дифференцируемых в
функций
банахово пространство непрерывных в функций с нормой
МСЙ xx
банахово пространство измеримых но Лебегу веществен
ных функций на 1 с нормой
i гх
Ур пространство Соболева, 1 р оо, к целое число,
Ур П и и ЬРП, Ваи ЬРП, а А,
Нкп иьР Е
ЯЙ ИЙ
Я8П ап 0
частная производная функции и по обычная и обобщен
ная, в роли могут выступать как пространственные, так и временная переменные
Чи иХ,.,иХп вектор частных производных функции и по
пространственным переменным
у и дХщ для векторфункции и г,., и
Аи сПуУп оператор Лапласа по пространственным
переменным
А iг диагональная матрица А, с элементами аи У Е единичная матрица
п. в. почти всюду, почти все
пн. си. полунепрерывный снизу
Введение


Она сопровождается поверхностным и объемным воздействием мощных источников энергии, вызывающих нагрев и плавление обрабатываемого материала с последующим охлаждением и кристаллизацией. Происходящие при этом структурные и фазовые превращения. Разработка новых технологий горячей обработки металлов, а также средств автоматического управления технологическими процессами, предполагает создание средств прогноза и оптимизации натурных экспериментов, результаты которых в значительной степени определяются динамикой температурного поля. Поэтому математическое моделирование тепловых процессов в металлах, составляющее предмет работы, является актуальным. Реальные объекты технологических операций зачастую представляют собой трехмерные тела сложной формы, состоящие, как правило, из нескольких элементов с различными теплофизическими свойствами. Теплопроводность и теплоемкость металлов зависят от температуры. Наличие нагревателей вызывает структурные и фазовые изменения материала. Непрерывное литье стали играет важную роль в металлургии. Математически процесс охлаждения и затвердевания металла описывается двухфазной задачей Стефана с предписанной конвекцией см. М. , Т. Существование и единственность слабого решения задачи Стефана исследованы в работах . Viii , . Формулировка задачи Стефана при отсутствии конвекции с введением функции энтальпии и обоснование существования и единственности обобщенного решения исследовались, например, в работах О. А. Олейник , О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова и . Н. Уральцевой 3, . А. М. Мейерманова . Существование и единственность обобщенного решения двухфазной задачи о непрерывной выплавке были исследованы . Исследованию сходимости конечномерной аппроксимации задачи Стефана и точности сеточных схем посвящены работы Ф. П. Васильева , Б. М. Будака, . Н. Соловьевой и А. Б. Успенского 2, А. А. Самарского и Б. Д. Моисеенко 6, Р. П. Федоренко , Е. Е. i , . С. М. Н. и . Vi , М. Vi , . Vi . В этих работах, в частности, исследованы неявные сеточные схемы как для исходной задачи, т. Стефана в энтальпийной постановке с использованием регуляризации разрывной функции энтальпии 2, , , . Традиционно используемые методы решения задачи Стефана с предписанной конвекцией основаны на применении классического МКЭ по пространственным переменным. Аппроксимации задачи непрерывной выплавки посвящены работы . Е. ЬаШпеп и Л. Р1еБка . Для аппроксимации конвективного члена и производной по времени используются следующие схемы аппроксимации с использованием характеристик дифференциального оператора , , полуявные схемы, в которых значение конвективного члена берется с предыдущего временного слоя , и неявные сеточные аппроксимации . Эти схемы безусловно устойчивы, но при их использовании возникают системы нелинейных уравнений, численное решение которых проводится методами типа верхней релаксации. Эти итерационные методы имеют небольшую скорость сходимости при достаточно подробных сетках. Их ускорение достигается методами декомпозиции области , иили использованием многосеточных процедур . Но в любом случае, даже использование этих подходов приводит к возникновению систем нелинейных уравнений, решение которых попрежнему проводится итерационными методами типа метода верхней релаксации. С другой стороны вычислительная сложность одного шага явной схемы совпадает со сложностью одной итерации метода типа верхней релаксации. Хорошо известно, что явные схемы с постоянным шагом по времени обладают лишь условной устойчивостью, это существенно сужает область их применения в прикладных задачах. В то же время в работах , , построены эффективные алгоритмы на основе явных разностных схем с переменными шагами по времени для решения как линейных, так и нелинейных нестационарных задач. Качество производимой стали существенно зависит от теплового режима при затвердевании, при этом первостепенное значение имеет поведение поверхностной температуры и фронта затвердевания. Экспериментальный выбор режима охлаждения слитка является дорогостоящим и не всегда реализуемым процессом, поэтому актуальным является численное моделирование процесса охлаждения.