Принцип невязки и его применение к численному моделированию некоторых обратных задач математической физики

• Автор: Япарова, Наталья Михайловна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 135 с. : ил.

Содержание
Введение

Глава 1. Основные понятия теории условно корректных задач

1.1 Постановка задачи.

1.2. Основные понятия.

1.3. Строение классов корректности для линейных операторных уравнений

1.4. Понятие оптимальности и оптимальности по порядку для методов решения условно корректных задач.
1.5. Класс корректности для линейных операторных уравнений Глава 2. Исследование методов регуляризации Тихонова при

различных подходах к выбору параметра регуляризации. Метод невязки.

2.1 Метод регуляризации Тихонова нулевого порядка.

2.2 Исследование точности метода регуляризации Тихонова нулевого порядка на различных классах корректности. . .
2.3 Общий метод регуляризации Тихонова .
2.4 Построение модифицированного метода невязки.
2.6 Оценка погрешности модифицированного метода невязки Глава 3. Метод проекционной регуляризации с выбором параметра по принципу невязки.
3.1 Построение и свойства регуляризующего семейства операторов
3.2 Оценка погрешности метода проекционной регуляризации
Глава 4. Обратная задача восстановления энергетического спектра бозесистемы по ее теплоемкости
4.1 Постановка задачи о восстановлении фононных спектров .
4.2 Исследование асимптотического поведения функции ядра .
4.3 Строение класса корректности для задачи восстановления фононных спектров .
4.4 Оценка погрешности приближенного решения
4.5 Применение принципа невязки при восстановлении энергетического спектра бозесистемы по ее теплоемкости
4.6 Конечномерная аппроксимация для задачи восстановления фононного спектра
4.7 Численная реализация задачи восстановления фононного спектра
Глава 5. Численное моделирование обратных граничных задач
тепломассообмена .
5.1 Обратная задача тепловой диагностики ракетных двигателей
5.2 Обратная задача непрерывной разливки стали
5.3 Численное решение обобщенной обратной задачи методом проекционной регуляризации.
Список литературы


В ней исследованы на точность методы регуляризации, использующие принцип невязки и построены оптимальные по порядку методы. Особое отличие построенных в работе методов от известных заключается в том, что они не используют явно априорную информацию о классе корректности задачи и в то же время оказываются оптимальными по порядку при достаточно общих предположениях об этом классе. Этот факт является важным ввиду того, что при решении задач с априорной информацией класс корректности может быть известен приближенно, что будет ухудшать точность полученных решений. Впервые такие методы для классов корректности степенного типа были построены в работах И. В.Емелина и М. А.Красносельского [9] и Г. М.Вайникко []. Заметим, что все эти методы являются нелинейными. В настоящей работе эти результаты распространены на произвольный класс корректности Мг, определяемый непрерывной и строго возрастающей функцией удовлетворяющие условию (? Это оказывается очень важным при использовании данного метода при решении широкого класса задач и, в частности, обратной задачи физики твердого тела. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и библиографии, насчитывающей 9 наименований. В первой главе приводятся основные понятия и определения, связанные с решением условно-корректных задач. В этом разделе дано понятие метода решения условно-корректной задачи и определена количественная характеристика его точности на соответствующем классе. Эти условия распространяют теорию, разработанную В. К. Ивановым в [] на класс некомпактных операторов. При численном восстановлении энергетических спектров для большого числа модельных и реальных кристаллов []—[] было установлено, что достаточно устойчивым методом решения этой задачи является метод регуляризации Тихонова нулевого порядкас выбором параметра регуляризации из принципа невязки . Этот факт не укладывался в рамки теории точности методов, что послужило поводом для исследования этого метода на точность. Эти исследования были проведены во второй главе. Во этой же главе построен и исследован модифицированный метод невязки нулевого порядка. Для него была получена точная по порядку оценка погрешности и доказана оптимальность по порядку этого метода на логарифмических классах корректности. В третьей главе настоящей диссертации построен и исследован метод проекционной регуляризации для несамосопряженных операторов с параметром регуляризации, выбранным из принципа невязки. В результате был получен нелинейный вариант метода проекционной регуляризации. Линеный вариант этого метода был предложен в работе В. К. Иванова []. А в работе В. П. Тананы и А. Р. Данилина [] была доказана его оптимальность по порядку и получена точная оценка погрешности этого метода. Нелинейный метод проекционной регуляризации основан на информации о приближенно заданной правой части и уровне её погрешности. Для построенною метода проекционной регуляризации были получены точные по порядку оценки погрешности и доказана его оптимальность по порядку при достаточно общих предположениях о классе корректности. Это является важным для решения практических задач, в которых классы корректности известны, как правило, неточно. В четвертой главе методы регуляризации Тихонова различных порядков с выбором параметра по принципу невязки были использованы для решения обратной задачи физики твердого тела [] . Был поведен сравнительный анализ решений , полученных методом регуляризации нулевого и первого порядков. Для этой задачи методом проекционной регуляризации была получена точная по порядку оценка модуля непрерывности обратного оператора на соответствующем классе корректности. Пятая глава посвящена применению метода проекционной регуляризации с выбором параметра регуляризации по принципу невязки для решения обратной задачи тепломассообмена. Приведены численные примеры решения этой задачи. Огромную благодарность выражаю своему научному руководителю -профессору Виталию Павловичу Танане за постановку задачи и консультации, проведенные при работе над диссертацией.