Об исследовании некоторых задач моделирования и оптимизации с помощью позиционно-управляемых систем

• Автор: Дигас, Борис Вадимович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 108 с.

Оглавление
Введение .

Глава 1. Моделирование переменных входов в параболических уравнениях.

1.1. Постановка задачи. Метод решения

1.2. Регуляризирующий алгоритм моделирования.

1.3. Пример

Глава 2. Моделирование интенсивности точечных источников

в гиперболических уравнениях

2.1. Постановка задачи. Вспомогательные утверждения.

2.2. Алгоритм моделирования интенсивности источников

2.3. Результаты вычислительного эксперимента.

Глава 3. Об одном алгоритме невыпуклой оптимизации .
3.1. Постановка задачи и алгоритм решения
3.2. Возмущенная задача и регуляризирующий алгоритм
3.3. Приложение к задаче гарантированного страхования
3.4. Пример оптимизации страховой сети.
Литература


В связи с этим развиваются специализированные подходы, ориентированные на решение конкретных типов задач невыпуклой оптимизации. Предлагаются подходы к итерационному решению оптимизационных задач, невыпуклость которых определяется присутствием в них разностей выпуклых функций []. Развиваются методы оптимизации, основанные на игровых моделях [4]. Для некоторых классов задач, в определенном смысле близким к выпуклым, известны итерационные алгоритмы решения, использующие операции с функцией Лагранжа []. В частности, широко применяются алгоритмы оптимизации, основанные на привлечении так называемых расширенных лагранжианов, позволяющих распространить на невыпуклые задачи теорию двойственности []. Исследование обобщенных лагранжианов позволяет существенно расширить класс задач, которые допускают седловую точку и, следовательно, могут быть разрешены с привлечением алгоритмов, действующих с помощью решения дуальной задачи. Начиная с работы Рокафеллара [5], относящейся к распространению понятий субградиента и субдифференциала на функции, не обладающие свойством выпуклости или вогнутости, эти понятия активно привлекаются для решения некоторых специальных классов задач невыпуклой оптимизации. Как и задачи из первой и второй глав, изучаемая в третьей главе оптимизационная задача также является некорректной, поскольку предусматривает неточность информации о входных данных. Построение методов регуляризации оптимизационных задач — нахождения их устойчивых приближенных решений на основании возмущенных данных — составляет обширный раздел теории некорректных задач []. В частности, в [] разработана техника выпуклой оптимизации, в основе которой лежит модификация так называемого метода «агрегирования ограничений», предложенного в работе [], и развитого в исследованиях [,,,]. В [] рассматривалась задача об оптимальной совместности одионараметрических семейств линейных уравнений. Был построен основанный на принципе экстремального сдвига итерационный метод решения указанной задачи. В работе [] этот метод апробирован на задаче оптимального быстродействия линейной управляемой системы с выпуклыми фазовыми ограничениями, приведен соответствующий регуляризирую-щий алгоритм. Задачи оптимизации скалярного параметра совместности для класса уравнений в нормированном пространстве изучались в работах [,]. Таким образом, вышеупомянутые исследования касались задач выпуклой оптимизации при ограничениях в форме линейных равенств и неравенств, а также невыпуклой оптимизации при ограничениях в форме равенств. В третьей главе настоящей диссертации рассмотрена задача невыпуклой оптимизации при ограничениях в форме неравенств. Ее суть заключается в нахождении наименьшего значения скалярного параметра, при котором зависящая от этого параметра система невыпуклых неравенств имеет решение в пределах заданного множества. Само это решение также подлежит нахождению. В случае, когда оно не единственно, достаточно найти любое из решений. Сконструирован итерационный алгоритм, решающий рассматриваемую задачу, а также регуляризирующий вариант алгоритма для случая неточной информации о системе. Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы. Общий объем работы составляет 8 страниц. Краткое содержание работы. Перейдем к краткому изложению основных результатов, полученных в диссертации. В главе 1 исследуется задача моделирования управлений в параболических уравнениях по результатам неточных измерений фазовых состояний. В параграфе 1. Суть рассматриваемой проблемы состоит в следующем. В(х(1)) + /(? Хо Е V, ? Е Т = [? Е предполагается неизвестным. Здесь (Я, | • |я) — действительное гильбертово пространство, отождествляемое со своим сопряженным: Я = Я*, (V, || • )|) — сепарабельное и рефлексивное банахово пространство, V вложено в Я плотно и непрерывно, (Я, || • Цу) — равномерно выпуклое сепарабельное банахово пространство. Е и^-д = М-) € Ь2(Т] (I) : и(? Е Р при п. Р С и — выпуклое ограниченное множество. Е Д = {т{}? Е [0 :1 - 1] (т4 = т4-_1+ ? Н) реализация я(? Е (т4_ь т4] траектории х(*).