Некоторые сплайн-вэйвлетные разложения на неравномерной сетке

• Автор: Макаров, Антон Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 178 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Обобщенные сплайны третьего порядка

1.1 Предварительные обозначения и вспомогательные утверждения .

1.2 Пространства X, Л, сплайнов

1.3 Пространства В спл айнов

1.4 О представлении Всплайнов.

2 Калибровочные соотношения и вложенность пространств Всплайнов

2.1 Измельчение сетки

2.2 Калибровочные соотношения. Представление функции

с помощью линейной комбинации функций Щ и 01 .

2.3 Представление функции с помощью функций а1 иЦ
2.4 Представления функций ш3 и ш2.
2.5 Сводная теорема о калибровочных соотношениях
3 Вэйвлетные разложения
3.1 Биортогональная система функционалов и интерполяционная задача
3.2 Значения функционалов на образующих объемлющего пространства .
3.3 Вэйвлетное разложение. Формулы декомпозиции
3.4 Формулы реконструкции .
3.5 О вариантах телескопических систем и об их вэйвлетных разложениях.
3.6 О распараллеливании вэйвлетных разложений
4 Аппроксимация Всплайнами
4.1 Представление остатка приближения ..
4.2 Асимптотические оценки для аппроксимационных функционалов
4.3 Асимптотические оценки для В сплайнов.
4.4 Порядок аппроксимации.
4.5 Еще одно замечание об оценках.
5 Другой подход к построению В сплайнов второго
порядка
5.1 В сплайны второго порядка.
5.2 Некоторые алгебраические тождества
5.3 Свойства Врсплайнов.
6 Моделирование В у сплайнов
6.1 Полиномиальные Ясплайны .С
6.2 Неполиномиальные Лсплайны
6.3 Сплайнвэйвлстная модель аппроксимации.
6.4 Некоторые варианты сжатия и восстановления числовых потоков
Заключение
Список литературы


Хк+1) взять (возможно, различные) ЕСТ-системы (вронскиан ЕСТ-системы всегда отличен от нуля, что важно для построения /^-сплайнов, являющихся в этом случае ЕСТ-В-сплайиами максимальной гладкости). Данная работа, продолжая цикл работ [б], [], [], [], [], [], [], [], [], [], относится ко второму направлению. Стимулом к изучению этого направления исследований стали работы С. Г. Михлина [] и Ю. К. Демьяновича [], поскольку исходными здесь являются аппрок-симациониые соотношения. Предлагаемая работа также связана с третьим направлением: алгоритмы, минимизирующие вычислительную сложность, являются следствием выводимых здесь калибровочных соотношений (эти соотношения играют ту же роль, что и упомянутое выше кратномасштабное уравнение, см. Заметим, что рассматриваемые в упомянутых работах минимальные сплайны включают ЕСТ-В-сплайны, которые активно изучаются рядом авторов (см. Актуальность темы. Теория вэйвлетов (всплесков) появилась несколько десятилетий назад и имеет значимое приложение к решению практических задач в различных областях науки: математике, физике, медицине, инженерном деле. Развитие теории осуществляли многие ученые: И. Мейер, С. Малла, И. Добеши, Г. Стрэиг, Ж. Баттле, П. Ж. Лемарье, Ч. Чуй, А. Коэн, Р. Койфман, С. Б. Стечкин, В. А. Рвачсв, И. Я. Новиков, М. А. Скопина, А. П. Петухов, В. Н. Малоземов, В. В. Ю. Протасов и др. Вэйвлеты широко применяются при составлении эффективных алгоритмов обработки больших потоков информации или цифровых сигналов. Роль теории вэйвлетов заключаегся в предоставлении предметному специалисту достаточно широкого набора средств, из которых он может выбрать именно то средство, которое ему подходит для обработки (для разложения на составляющие) интересующего его потока информации (цифрового сигнала). В теории вэйвлетов упомянутыми средствами являются наборы вложенных пространств функций и их представлений в виде прямой (а иногда и ортогональной) суммы вэйвлетных пространств. Многие типы известных вэйвлетов обеспечивают быстрое, но весьма неточное сжатие. В данной работе используются сплайн-вэйвлетныс системы с гарантированно высокой точностью приближения гладких цифровых потоков. Они приводят к эффективному сжатию и к достаточно точному результату, ибо учитывают ’'гладкость" обрабатываемого потока цифровой информации. Стимулом к изучению этого направления исследований стали работы С. Г. Михлина и Ю. К. Демьяновича, поскольку исходными здесь являются аппроксимационные соотношения. В случае, когда (а,/? М1, а сетка - равномерная, удается применить мощный аппарат гармонического анализа (в пространстве функций ? М1) и пространстве последовательностей /2). Этому случаю посвящено большое количество исследований. Применение неравномерной сетки позволяет улучшить приближение функций без усложнения вычислений. Более того, для улучшения приближения могут понадобиться различные степени измельчения сетки в разных частях рассматриваемого промежутка. Цель диссертационной работы. Целью работы является получение новых аппроксимирующих пространств с локальным базисом; построение минимальных сплайнов с компактным носителем па неравномерной сетке и исследование их свойств; нахождение цепочек вложенных пространств для последовательности измельчающихся сеток; представление упомянутых цепочек в виде прямой суммы вэйвлетиых пространств с локальным базисом; построение новых сплайи-вэйвлетных разложений; построение приближения полученными минимальными сплайнами; получение представления остатка приближения; составление алгоритмов моделирования сплайн-вэйвлетной аппроксимации, алгоритмов декомпозиции и реконструкции (в том числе параллельных); численная апробация полученных результатов на модельных примерах. Методы исследования. В диссертации используются методы линейной алгебры и теории функций вещественного переменного. Для построения базисов минимальных сплайнов применен метод аппроксимационных соотношений. Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов подтверждена строгими доказательствами; результаты согласуются с проведенными численными экспериментами.