Нейросетевое моделирование в математической физике

• Автор: Васильев, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 262 с. : 27 ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1.

ПОСТРОЕНИЕ ПРИБЛИЖЕННЫХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

НА ОСНОВЕ НЕЙРОСЕТЕВОЙ МЕТОДОЛОГИИ

ГЛАВА 2.
ПРИМЕНЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ К ПОСТРОЕНИЮ ПРИБЛИЖЕННЫХ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА 3.
ПРИНЦИПЫ НЕЙРОСЕТЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ. ФИКСИРОВАННЫЕ ГРАНИЦЫ
ГЛАВА 4.
ПРИНЦИПЫ НЕЙРОСЕТЕВОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ. ПЕРЕМЕННЫЕ ГРАНИЦЫ
ГЛАВА 5.
ОБЩИЕ МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ИЕЙРОСЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ ПО РАЗНОРОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ


Новый подход к решению описанной задачи имеет следующие очевидные преимущества: помехоустойчивость - результат маю меняется при небольших изменениях входных данных (граничные условия, свойства среды, временная нестабильность); нет необходимости при решении серии задач обучать сеть заново; возможность применения к нелинейным и нсклассиче-ским задачам, в случае сложной геометрии. В параграфе 3 приведена абстрактная постановка задачи управле-ния границей и сделано обобщение иейросетевого подхода, когда ищется не только решение. К переменным, подлежащим определению, относится и сама форма области, граничные условия и др. В главе 5 даны общие методы построения приближенных нейросетс-вых моделей по разнородной информации (дифференциальные уравнения и данные). В предлагаемом подходе, заменяющем традиционный двух-этаппый метод построения модели, рассматривается иерархия моделей, как дифференциальных, так и функциональных, включающая всю имеющуюся исходную информацию, допускающая эволюцию моделей на любом уровне и способная включать в рассмотрение вновь поступающую информацию. На этом пути возможно и построение регуляризаций решений некорректных или неклассических задач. Обсуждение методов решения обыкновенных дифференциальных уравнении в классе нейронных сетей проводится в параграфе 1. Коши ух) = F(xyy), у(х0) = у0 на промежутке (а;Ь) может быть получено минимизацией функционала ошибки на некотором достаточно богатом множестве функций одной переменной, например, RBF-сетей. Важной для приложений является возможность построения приближенных решений заведомо переопределенных задач. Простейшим примером является модификация задачи Коши, состоящая в замене равенства у(х0) = у0 набором условий (обычно это результаты наблюдений) y(xl) = flj. При реализации раесмотренного выше нейросетевого подхода к построению аппроксимаций решения изменится лишь одно из слагаемых в выражении для функционала ошибки. Намного более сложной является задача поиска функции F(x,y) по результатам наблюдений. Ff. Обсуждаются варианты использования структурных алгоритмов при такой постановке задачи, когда одновременно строится и уравнение, и его решение - совмещаются оба этапа моделирования, отмеченные выше. Предлагаются и подходы, сочетающие подбор аппроксимации F(x,y) в виде нейронной сети и какой-либо классический способ численного решения дифференциального уравнения (типа метода Рунге-Кутта) или использующие рекуррентную сеть для построения поточечного решения аналогично четвёртому подходу в главе 4. В параграфе 2 кратко очерчиваются особенности нснросстсвого моделирования динамического объекта: постановка задачи, алгоритмы подбора структуры сети, восстановление уравнения в процессе наблюдений, управление объектом. Предложенная методика работы с моделями, основанными на обыкновенных дифференциальных уравнениях, применяется в параграфе 3 и к моделям, в описании которых участвуют дифференциальные уравнения в частных производных. Приближенное решение краевой задачи (1) ищем в виде нейронной сети некоторой заданной архитектуры, веса которой определяются в процессе обучения на основе минимизации функционала ошибки. Различные модификации такого рода задач, включая случай, когда неизвестная граница Г задаётся некоторой отдельной нейронной сетью, рассматривались в предыдущих главах. Так же, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, строится модель в виде уравнения в частных производных по данным измерений, коэффициенты этой модели определяются как некоторые нсйросстевые функции. В частности, в классе нейросстсвых функций можно подбирать g(x), /(х), коэффициенты операторов Л(и) и В(и)> которые могут зависеть заранее неизвестным образом, как от пространственных переменных, так и от искомой функции, а также функцию, которая задаёт границу Г, так как граница исследуемого объекта или граница раздела сред не всегда является наблюдаемой. Такие задачи естественным образом возникают во многих практических приложениях. Их обычно ставят как обратные задачи математической физики, решая тем или иным методом регуляризации.