Методы обобщенной задачи Римана в вычислительной гидродинамике

• Автор: Меньшов, Игорь Станиславович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 254 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

5. Вариационная задача Римана

5.1. Формулировка задачи

5.2. Решение в области ЦБР

5.3. Решение контактной зоны .

5.4. Неявный метод Годунова.

5.4.1. Основные уравнения и неявная дискретизация методом конечного объема .

5.4.2. Решение дискретных уравнений, обобщенная Ы1В факторизация .

5.4.3. Численные результаты

5.5. Метод Годунова для задач аэроакустики

5.5.1. Постановка граничных условий

5.5.2. Тестовые численные эксперименты.
6. Приложение устойчивость изолированных вихрей.
6.1. Линейный анализ устойчивости.
6.1.1. Постановка задачи
6.1.2. Модель вихря
6.1.3. Асимптотика дальнего поля и метод решения.
6.1.4. Результаты линейного анализа устойчивости.
6.2. Возбуждение неустойчивых мод при рассеивании звука на вихре
7. Заключение
Введение


Пока разрывы, возникающие при распадах начальных разрывов в узлах сетки не начинают взаимодействовать друг с другом, решение ги,. С Я 9Г , 1. К.Г. Как уже было оговорено выше уравнения 1. АЗР дА,ф,г значение на луче Л решения АЗР с начальным разрывом со значениями ц и г слева и справа соответственно. Временной шах т в методе Годунова должен определяться так. Или, если говорить о какомнибудь конкретном ребре, чтобы разрывы с соседних узлов сетки но успевали бы достичь этого ребра за период времени т. При этом условии схема Годунова 1. Дока зательство этого утверждения для случая стационарной однородной сетки приводится, например, в монографии i, vi . Метод обобщенной задачи Римана ОЗР можно рассматривать как прямое продолжение метода Годунова на класс кусочнолинейных функций, имеющее целью повышение порядка аппроксимации разностных уравнений. Идея использования кусочнолинейных аппроксимаций не нова. Еще с начала х годов стали появляться различные модификации метода Годунова, основанные на замене кусочнопостоянных распределений на кусочнолинейные. Пионерскими работами, повидимому, являются работы Колгана Колган , , где порядок аппроксимации по пространству был повышен до второго. Порядок по времени при этом остался первым. Идея получила дальнейшее развитие в работах Брам ван Лира v , , , Колеллы и Вудворда , , БенАрзи и Фалковича i, vi , где порядок аппроксимации и по времени был также повышен до второго. В работе Тилляевой Тилляева метод Колгана был обобщен на неравномерные и пространственные неортогональные сетки. Следует отметить, что эти работы основывались на решении АЗР линейная аппроксимация решения на сеточных интервалах использовалась в них лишь для получения уточненных значений на ребрах счетных ячеек. Однако в эволюции распада разрыва линейность начального распределения не учитывалась. Существенное отличие предлагаемого подхода состоит в использовании решения ОЗР. АЗР, для описания решения на ребрах сеточных интервалов. Это дает два основных преимущества 1 порядок аппроксимации по времени и пространству схемы Годунова повышается до второго без привлечения какихлибо дополнительных типа предиктор вычислений и 2 производные решения по пространству, которые наряд со средними но сеточным интервалам являются неизвестными в дискретных уравнениях, рассчитываются на основе определенных дискретных уравнений подобно расчету средних, а не аппроксимируются по рассчитанным значениям средних. Другими словами, средние и производные в предлагаемом методе ОЗР выступают в роли независимых переменных и считаются на основе собственных разностных уравнений. Следуя общему подходу, изложенному выше, пусть решение уравнения 1. Г X . Решение задачи Коши для уравнения 1. ОЗР. Эти решения не автомодельны, а потому не постоянны вдоль сеточных ребер. В соответствии с формулами 1. ЧГ1а,ф. Ч Я2
Я Й 0. Подставляя уравнение 1. Г 0. АЗР и ОЗР 1. Таким образом, расчет нового временного слоя по обобщенной схеме Годунова схеме, использующей решение обобщенной задачи Римана происходит в соответствии с уравнением 1. Завершается расчетный цикл вычислением производных на новом временном слое. Г1 1. Временной шаг т в обобщенной схеме Годунова должен определяться на основе тех же принципов, что в основной классической схеме. Именно, разрывы возникающие в соседних узлах сетки не должны достигать данного сеточного ребра за период времени т. Это накладывает ограничение на шаг но времени вида 1. Суммируя вышесказанное, метод обобщенной задачи Римана для численного решения скалярного уравнения 1. Пусть на момент времени Vх известны распределения средних по сеточным интервалам и производных 2. СЛИ ii i
1. АГ 1. Шаг 5 Вычисляем численный ноток п в соответствии с уравнением 1. Шаг 6 Пересчитываем значения производных на новом временном слое 5Д2 В С0 ответствии с уравнениями 1. Этим завершается описание построения расчетной схемы, основанной на методе ОЗР, для случая скалярного уравнения. Остается сделать лишь несколько замечаний. Замечание 1. Поскольку численный поток, определяемый решением обобщенной задачи Римана в соответствии с формулой 1. П1 1, ДО,, 1. Н , 0т3
1. Г1 1. КЙ . I. Ьц.