Метод построения адаптивных треугольных и призматических сеток для численного исследования задач механики сплошных сред со сложной структурой решения

• Автор: Лиханова, Юлия Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 132 с. : ил.

Введение

1. Математическая модель

1.1. Схема методов отображений

1.2. Базисные уравнения.

1.2.1. Уравнения Бельтрами.

1.2.2. Уравнения диффузии

1.3. Управляющая метрика

1.3.1. Формулировка элементов управляющей метрики .

1.3.2. Вычисление метрических компонент

1.3.3. Формулы основных управляющих метрик.

1.4. Обращенные уравнения.

1.4.1. Обращенные уравнения Бельтрами
1.4.2. Обращенные уравнения диффузии.
2. Описание численных алгоритмов
2.1. Приведение обращенных уравнений Бельтрами и диффузии
к вида, удобному для численной реализации
2.2. Вычислительный алгоритм для одномерного уравнения .
2.2.1. Итерационная схема
2.3. Вычислительный алгоритм для двумерного уравнения .
2.3.1. Итерационная схема
2.3.2. Начальное приближение.
2.3.3. Особенности численного нахождения
метрических компонент
2.3.4. Построение сеток с плохих начальных данных
2.4. Вычислительный алгоритм
для построения пространственных сеток.
2.4.1. Итерационная схема.
2.4.2. Начальное приближение
2.5. Программный инструментарий
Численная реализация
3.1. Построение одноблочных сеток
3.1.1. Использование функций слойного типа
для управления качественными свойствами управляющей метрики.
3.1.2. Конструирование сеток, согласованных
с векторным полем
3.1.3. Конструирование сгущающихся сеток.
3.1.4. Конструирование сбалансированных сеток
3.2. Построение гладких блочных сеток .
3.2.1. Сглаживание при помощи интерполяции.
3.2.2. Сглаживание при помощи сеточных уравнений
3.2.3. Пример использования сеток с отверстиями
Решение сингулярно возмущенных уравнений с использованием адаптивных сеток
4.1. Одномерное сингулярно возмущенное уравнение.
4.1.1. Метод координатных преобразований для нахождения
численного решения сингулярно возмущенных уравнений
4.1.2. Связь с обращенными уравнениями Бельтрами
4.1.3. Понятие обратной монотонности.
4.1.4. Оценки на производные решения.
4.1.5. Численная реализация
4.1.6. Решение задачи без использования оценок
4.2. Решение двумерной сингулярно возмущенной задачи
4.2.1. Задание метрики.
4.2.2. Преобразование задачи .
4.2.3. Результаты расчетов.
Заключение
Библиографический список
Введение


Двумерная система уравнений Лапласа, записанная относительно параметрических координат, была предложена в работах ,,. Чу . Двумерная система обращенных уравнений Лапласа была предложена в ,0. Двумерная система уравнений диффузии для построения адаптивных сеток была введена в работах ,1 и развивалась в работах ,. Метод построения адаптивных сеток на основе обращенных уравнений Бельтрами и диффузии относительно управляющих метрик подробно описан в монографиях , и является естественным продолжением подходов, предложенных в работах ,,,5,0. Метод эквираспределения для построения сеток применяется в работах ,. Система уравнений Пуассона была предложена в предположении, что ее решение является композицией конформного и растягивающего преобразований. Более общая система Пуассона была обоснована в монографиях 0,2. Разработка методов управления сеточными свойствами при помощи уравнений Пуассона проводилась в работах ,,,4,6,9. Обращенные уравнения Пуассона для построения ортогональных сеток используются в работах ,. Гиперболические уравнения позволяют использовать маршевые методы и конструировать ортогональные координатные системы. Однако методы, основанные на решении гиперболических уравнений, не всегда математически корректны. Кроме того, они неприменимы в случае, когда граничные узлы сетки заданы на всей границе. Поэтому гиперболические методы в основном используются для простых областей с выделенными боковыми гранями, для которых не требуется никакого специального распределения узлов. Этот метод развивался в работах ,,,,,. Метод построения двумерных сеток при помощи параболической схемы, аппроксимирующей обращенные уравнения Пуассона, был впервые предложен в работе , вариация этого метода разработана в . Комбинация гиперболической и параболической схем предложена в . Вариационные методы широко используются для построения сеток, удовлетворяющих нескольким свойствам. Они учитывают условия, которым должна удовлетворять сетка, при помощи специальных функционалов, определенных на множестве гладких или дискретных преобразований. Компромиссная сетка со свойствами, близкими к требуемым, получается при нахождении оптимального преобразования для комбинации этих функционалов. Основная задача вариационного подхода заключается в том, чтобы описать все важные характеристики искомой сетки в подходящей функциональной форме и составить комбинированный функционал, который обеспечил бы корректную задачу минимизации. Функционал энергии в метрике вычислительной области Зп был предложен в . Исследованию и развитию этого подхода посвящены работы 5,,. Вариационный принцип для построения адаптивных и оптимальных сеток использовался в работах ,,,,,,,. Вариационная формулировка сеточных свойств описана в 8. Хотелось бы заметить, что несмотря на различие имеющихся технологий построения сеток, между ними существуют тесная взаимосвязь. Часто характеризуя метод, можно выделить в нем использование элементов различных направлений 8,. Представленная диссертационная работа посвящена разработке метода построения адаптивных треугольных и призматических сеток, основанного на применении обращенных уравнений Бельтрами и диффузии, для решения задач механики сплошных сред. Бельтрами выполняется теорема Радо, согласно которой сеточные преобразования, полученные решением уравнений Бельтрами будут невырожденными, если вычислительная область выпукла. Бельтрами и диффузии позволяет единообразно строить сетки в областях и на поверхностях произвольной размерности. Таким образом, преимуществом математической модели, основанной на базе этих уравнений, является то, что она позволяет в единообразной форме и независимо от параметризаций областей строить как стационарные, так и подвижные сетки в областях произвольной размерности и на их границах, и в то же время обеспечивать требуемые характеристики с помощью задания управляющей метрики. Операторы и уравнения Бельтрами и диффузии и их свойства хорошо изучены в теории Римановой геометрии, что существенно помогает формулировать в явном виде необходимую метрику для управления свойствами разностных сеток.