Метод ложных возмущений в обобщенной задаче на собственные значения

• Автор: Макеева, Ольга Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 176 с. : ил.

1. Обобщенные жордановы цепочки в теории возмущений дискретного спектра линейных операторов

1.1. Некоторые определения и факты

1.2. О жордановых цепочках полиномиальной операторфункции спектрального параметра и ее линеаризации

1.3. Об одном частном случае теоремы Ф. Реллиха.

1.4. Применение линеаризации по спектральному параметру к устойчивости разветвляющихся решений.
2. Метод ложных возмущений для уточнения приближенно заданных жордановых цепочек в моделях линейных спектральных задач

2.1. Построение моделей ложного возмущения

2.2. Итерационные процессы вычисления собственного значения

и обобщенных жордановых цепочек и их регуляризация .

2.2.1. Итерационный процесс НьютонаКанторовича

2.2.2. Итерационный процесс НьютонаКанторовича с кубической сходимостью .

2.2.3. Итерационный процесс ЭйткенаСтеффенсена
2.2.4. Итерационный процесс М. К. Гавурина
2.2.5. О биортогональности вычисленных ОЖЦ
2.2.6. О регуляризации итерационных процессов
2.3. Применение метода ложных возмущений
2.3.1. Одномерная задача со смещением.
2.3.2. Одномерная задача с двумя смещениями.
2.3.3. О применении метода ложных возмущений к решению алгебраических уравнений
2.3.4. О методе ложных возмущений для аппроксимирующей операторфункции .
2.4. Метод ложных возмущений определения критических точек
спектра динамической бифуркации.
2.5. Метод ложных возмущений и спектр Э. Шмидта
2.5.1. Модельная задача А.
2.5.2. Модельная задача В.
2.5.3. Реализация метода ложных возмущений
2.6. Прикладные задачи на спектр Шмидта
2.6.1. Модельные задачи теории электромагнитных колебаний в резонаторах без потерь
2.6.2. Граничная задача со смещениями для системы ОДУ .
2.6.3. Пространственно одномерная динамическая задача со смещением.
3. Метод ложных возмущений в различных обобщениях задач на собственные значения
3.1. Линеаризация по спектральному параметру и метод ложных возмущений
3.2. Обобщение спектральных задач Э. Шмидта
3.2.1. Модельная задача С и ее применение.
3.2.2. Модельная задача Б и ее применение.
3.3. Связь метода ложных возмущений с аналитическими возмущениями и с дифференциальными уравнениями с вырождением .
Заключение
Библиографический список
Приложения
Введение


Всюду ниже формулы, теоремы, леммы, следствия и замечания имеют сквозную нумерацию внутри каждой главы первая цифра соответствует номеру главы, вторая номеру утверждения. Глава 1. А 0, 1. А нелинейный оператор, действующий из банахова пространства i Л в банахово пространство Еч Л 6 Л числовой параметр, определенный и непрерывный в окрестности известного решения X Хо при А Ло Пусть в некоторой окрестности точки гго, Ло уравнение 1. А, хо яАо, тогда точка оАо называется регулярной точкой уравнения 1. Пусть при любом А 6 Л выполняется равенство 0, А 0, тогда точка ветвления 0, Ао или кратко точка Ао называется точкой бифуркации уравнения 1. В теории ветвления рассматриваются вопросы о существовании таких малых решений, их количестве и построении их асимптотики по малому параметру в случае, когда оператор В xxо, Ао имеет нетривиальное подпространство нулей, т. Следует отметить, что эти решения представимы сходящимися рядами по степеням малого параметра в окрестности точки ветвления. Не ограничивая общности можно считать хо 0, Ао 0 и записать уравнение 1. Вх Щх, А, Д0,0 0, Дх 0,0 0. Для удобства дальнейшего изложения, следуя терминологии и обозначениям 7, приведем некоторые сведения из теории ветвления и теории возмущений. Плотно заданный линейный оператор В Е Е2 с замкнутой областью значений нормально разрешимый оператор называется нетеровым, если подпространства его нулей 5 8рапуь. IV5 эраи,. ЛДБ, т сНтIV В. Если п ш, то оператор В называется фредгольмовым. Еи Е2 в прямые суммы Ех Е Е, Е2 Е2т Е2т, где
. Е К и 5 Е2 2,т проекционные
операторы и В ЛДВ врапу1,. СЕ2 Е2,т 8рапь т 1 и ЯЕ2 2,оот ДЯ . Сведение уравнения 1. По теорехме о неявных операторах первое уравнение системы определяет единственное малое решение и и, А. Подставляя его во второе уравнение системы получаем УР А. Другой вывод УР, более удобный во фредгольмовом случае, основывается на обобщенной лемме Э. Шмидта, согласно которой существует огра
ниченный оператор Г В1 I ъ I Записывая 1. Вх Ях, А х, 7,, г 1 ,. А из уравнения Вга
В IV А I . Величины , г 1,. УР Э. Шмидта
6 л А, 7 0, к 1,. Далее рассмотрим определения и свойства обобщенных жордановых цепочек 7, а также некоторые аспекты их применения к вопросам теории ветвления. Каждой задаче теории ветвления соответствует аналитическая операторфункция В Ае, Ае Ях0,, которая сопоставляет этой задаче характеризующую ее обобщенную жорданову структуру. Пусть В Е Е2 плотно заданный фредгольмов оператор, Ак Е Е линейные ограниченные операторы и Вв С Вдк. Определение 1. Элементы , 5 1,. В Ае В . В Акрк, чЪ О, ЕГп, 2,. ОЖН Тогда цепочки можно продолжить производя их перестройку 7, , . Процесс заканчивается, когда на некотором шаге получен полный ОЖН. В отличие от этого общего случая, полный ОЖН, удовлетворяющий равенствам 1. В Ае имеет полный ОЖН, то каноническая пара существует. Можно привести пример аналитической операторфункции, имеющей каноническую пару, хотя соответствующий канонический ОЖН не является линейно независимым. В Ае, соответствующий ОЖН биканоническим. Лемма 1. Ы i ii, 4 ii, i, к 1,. Бикаионический ОЖН, удовлетворяющий равенствам 1. Теорема 1. ВР СВ на Ив ВФ ВФ Л. Рассмотрим случай линейной операторфункции. С Л и Л подчинен В т. Лж . Вт2 на или Л С и В подчинен А т. Вх ЦЛяЦ на Л. Подпространства нулей 7УВ врап,. ЛГЛ зрап , и дефектные подпространства ЛГВ зрап1. ЛГЛ Брап1,. В ЛЛ, Л рВ нетривиальны. В АЛ А если
1. Если ОЖЦ оборвутся на элементах р при Вр О Вд 0 и не составят полный ОЖН, то можно получить полный ОЖН производя перестройку цепочек. ОЖН называется биканоническим, если соответствующий ОЖН сопряженной операторфункции В АЛ А рВ тоже является каноническим. ОЖН определяется равенствами 1. Его элементы линейно независимы и образуют базис корневого подпространства К В, А
К А, В, где кв йтКВ,А кА сНт К А, В Я
корневое число фредгольмовой точки спектра А 0 аВ а 0 6 вА оператофункции В АЛ Л ИЗ. АГВ П ЛГЛ 0. Лем м а 1. Ч М,1 г1. А Л0 1,. Л. 7 м,7, Р й ОД1, г,к 1,. Биканонические ОЖН, удовлетворяющие равенствам 1. Теорема 1.