Масштабирующие функции и вейвлеты с коэффициентом масштабирования N>2

• Автор: Подкур, Полина Николаевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Кемерово
• Количество страниц: 233 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МАСШТАБИРУЮЩИЕ ФУНКЦИИ.

1.1. Масштабирующие функции с коэффициентом 2.

1.1.1. Построение масштабирующей функции

1.1.2. Акратномасштабное разложение.

1.1.3. Кратные коэффициенты масштабирования.

1.2. Примеры масштабирующих функций

1.2.1. Масштабирующие функции Хаара.

1.2.2. Масштабирующие функции КотельниковаШеннона

1.2.3. Масштабирующие функции Мейера

1.2.4. Вырожденные масштабирующие функции Кантора.
1.2.5. Сплайновые масштабирующие функции
1.3. Заключение по главе 1
ГЛАВА 2. ВЕЙВЛЕТЫ С ПАРАМЕТРОМ МАСШТАБИРОВАНИЯ .
2.1. Вейвлеты с параметром масштабирования
2.1.1. Вейвлетпреобразование.
2.1.2. Разложение и восстановление в неортогональном случае.
2.2. Вейвлеты Хаара с параметром масштабирования
2.3. Вейвлеты Кантора с коэффициентом масштабирования .
2.4. Вейвлеты КотельниковаШеннона
2.5. Вейвлеты Мейера
2.5.1. Построение частотных функций вейвлетов.
2.5.2. Построение вейвлетов Мейера
2.6. Вейвлеты с масштабным коэффициентом 2к.
2.7. Вейвлеты на основе Всплайнов
2.7.1. Общие конструкции
2.7.2. Фильтры разложения и восстановления на основе 5сплайнов.
2.7.3. Примеры построения неортогональных вейвлетов на основе 5сплайнов
2.8. Построение ортогональных вейвлетов
2.8.1. Общие конструкции.
2.8.2. Масштабирующие функции и вейвлеты для ЛКЗ.
2.8.3. Примеры масштабирующих функций и вейвлетов для 3.
2.9. Заключение по главе 2
ГЛАВА 3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАНАЛЬНОГО ВЕЙВЛЕТРАЗЛОЖЕНИЯ ДЛЯ АНАЛИЗА ЭКОНОМИЧЕСКИХ ДАННЫХ
3.1. Многоуровневый анализ данных об акциях ЛУКОЙЛ
3.1.1. Первый уровень разложения, 4.
3.1.2. Второй уровень разложения, 8. Средние часовые данные.
3.1.3. Третий уровень разложения, 5. Средние дневные данные.
3.2. Вейвлетанализ объемов продаж
3.2.1. Первый уровень вейвлетразложения, 4.
3.2.2. Второй уровень разложения, V8. Средние часовые данные
3.2.3. Третий уровень разложения, 5. Средние дневные данные
3.3. Заключение по главе 3
ГЛАВА 4. ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ КОМПОНЕНТЫ КАРДИОСИГНАЛА
4.1. Постановка задачи
4.1.1. Пакетное вейвлетразложение
4.1.2. Числовые характеристики компонент сигнала
4.2. Зависимость числовых характеристик высокочастотных компонент кардиосигнала от выбора вейвлета
4.2.1. Первая группа вейвлетов
4.2.2. Вторая группа вейвлетов
4.2.3. Третья группа вейвлетов
4.2.4. Четвертая группа вейвлетов.
4.2.5. Пятая руппа вейвлетов.
4.3. Устойчивость числовых характеристик высокочастотных компонент кардиосигнала одного пациента при различных регистрациях кардиосигиала
4.4. Числовые характеристики высокочастотных компонент кардиосигнала пациентов.
4.4.1. Группа больных пациентов.
4.4.2. Группа здоровых пациентов
4.5. Заключение по главе 4
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Следующая теорема показывает, что каждая такая функция также является масштабирующей. Сомножитель включен с той целью, чтобы ? Теорема 1. Р]-! Ро,к (Х) = ^И К-Ык<Р(Мх - п) = X К-Ик <ри{х), (1. Ч>! Ьп(рм(х). Доказательство. П'? Р]. Сделаем преобразование Фурье масштабирующего соотношения (1. Р[<р(Ш - и)] = 1/ЛГ е-‘па1Ы Р[(р]{а1 И). А^ пе/. Я0И = ~1Аи^'^, (1. Соотношение (1. Функцию #о(ю) будем называть частотной функцией масштабирующей функции (р(х). Из масштабирующего уравнения (1. Я0(0) ^(0). Л=1. Ъ) = (p(x)dx = . Итерационный метод. Запишем это уравнение в виде операторного уравнения. Оператор Ам изменения масштаба, AN(f)(x) = Viv f (Nx). Оператор Tn сдвига на целое число п, Тп (/)(*) = f(x - п пе Z. Тогда очевидно, что y[Nq? Nx-n) = An <>Тп(^(л:)). Ф) = JnYjKan о Т„(ф)) = Р(ф)), (1. F:? R)->Zr(R) есть линейная комбинация операторов ^*Tn,F = ^zhnANoTn . PnAx)=F((0), (р{ 1),<р(Ь)). Последнее уравнение можно записать в матричном виде Н(р = (р, где (Ь +1) х (? Я имеет элементы Нр5 ='ЛУкМр_8. Следовательно, вектор (р является собственным вектором, относящимся к собственному значению 1. Из этого условия он и находится. Подробнее об этом см. Бесконечное произведение. Я) выражение НЛт! ЦН0 — , где константа с равна пределу функции ф{со) в нуле. Полученная формула дает метод для нахождения масштабирующей функции через частотную функцию отклика Яо(со). Теорема 1 Если ? Доказательство есть небольшая модификация доказательства аналогичного утверждения из [6]. Н Є~1 п0)^п(0^ -іпо)! VI Vі і і и • і ^ і і ^ V* її , І Б1П А2 / 2 I . М п^г уМ пьъ псо! ЩіИп\п< + С<есм. СМ! Поэтому по теореме Вейсрштрасса бесконечное произведение (1. М,М]. Замечание 2. Таким образом, для сходимости бесконечного произведения (1. Замечание 3. Теорема 1. Ип}. Однако не следует, что коэффициенты {hn} можно выбирать произвольно с учетом ограничений теоремы. Дело в том, что бесконечное произведение, даже если оно сходится, может не принадлежать L2(R). R и даже равномерно на компактных подмножествах числовой прямой. Однако функция ф(со) не принадлежит ? Такая функция фс) не является даже локально интегрируемой. В случае N=2 условием, достаточным для фс)еЬ2(К) является приведенное ниже условие (1. Дадим здесь определение ортогонального JV-кратномасштабного уточняющего разложения пространства L2(R) и напомним некоторые свойства масштабирующей функции, необходимые для ортогональности. Определение 1. Vo. Кратномасштабное разложение называют часто ортогональным кратно-масштабным анализом (multiresolution analysis), сокращенно - КМА. Vj для любого j. Из того, что (р{х) є V0 с V] следует, что функция (р(х) раскладывается по базису пространства У. Замечание 4. Ьп_^к(Р,п(х) (установленно ГО В Теореме 1. И ИЗ ТОГО, ЧТО ($? Ф) = hMNx - «). Теорема 1. Функции (рп{х) = (jix-ri) образуют ортонормированный базис подпространства V0 с ? Как уже отмечалось, сходимость бесконечного произведения не обеспечи-вает условие c{x)eL (R). В ортогональном случае можно получить дополнительное условие на Н0(о)) для того, чтобы