Численное решение трехмерных прямых и оптимизационных задач дифракции

• Автор: Илларионова, Любовь Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Хабаровск
• Количество страниц: 124 с. : ил.

Оглавление
Введение

Основные обозначения

Глава I. Задача оптимального управления процессом дифракции акустических волн

1.1. Постановка задачи .

1.2. Разрешимость задачи дифракции.

1.3. Разрешимость задачи оптимального управления . .

1.4. Конечномерная аппроксимация задачи оптимального

управления

1.5. О решении конечномерной задачи

1.6. Схема приближенного решения задачи управления .

Глава II. Алгоритмы численного решения трехмерных задач дифракции акустических и упругих волн
2.1. Постановки задач.
2.2. Сведение к граничным интегральным уравнениям .
2.3. Аппроксимация интегральных уравнений
2.4. Численное решение задач .
2.5. Аппроксимация интегральных уравнений на звездной поверхности
2.6. Вычисление поверхностных интегралов
Глава III. Результаты численных экспериментов
3.1. Описание программного комплекса, реализующего алгоритмы решения прямых и оптимизационных задач
дифракции
3.2. Математическое моделирование дифракции акустических волн .
3.3. Математическое моделирование дифракции упругих
3.4. Численное решение задачи оптимального управления
Заключение
Литература


Применение последних позволило также добиться существенного прогресса в изучении задач дифракции на неоднородностях, параметры которых медленно меняются при изменении пространственных переменных [4,5]. Физические соображения и формальные преобразования, составляющие основу таких подходов чаще всего строго не обоснованы. Аналитические методы, при всем их многообразии, позволяют решать весьма узкий класс задач дифракции. Широкое распространение для решения задач математической физики получили разностные и проекционно-сеточные методы [, ,,,,,]. Они хорошо приспособлены для решения внутренних краевых задач. Задачи же дифракции, как правило, рассматриваются в неограниченных областях, причем их решения могут медленно убывать с расстоянием. Поэтому применение разностных и проекционно-сеточных методов к трехмерным стационарным задачам дифракции сопряжено с трудностями, связанными с чрезмерным расширением области определения неизвестных функций, заменой условий излучения на бесконечности краевыми условиями, усложнением аппроксимации в окрестности границы включения. Метод разностных потенциалов позволяет численно решать многие краевые задачи для линейных дифференциальных и разностных уравнений с переменными коэффициентами в многомерных областях с криволинейными границами [,,]. Вместо функции Грина он использует непосредственно оператор Грина, а вместо интеграл ьиого представления - некоторое операторное представление. Для решения задач дифракции может быть применен следующий метод: волновое поле во внешней области представляется 1? Но этот подход обоснован только для случая, когда вспомогательные источники расположены всюду плотно на некоторой кривой или поверхности. К тому же увеличение количества источников может привести к нарушению устойчивости. Методы интегральных уравнений являются одними их наиболее эффективных при исследовании задач прикладной математики. Они позволяют строить математические модели различных физических явлений, проводить исследование корректности полученных задач, а также служат теоретической основой для разработки алгоритмов численного решения этих задач. Для сведения краевых задач к интегральным уравнениям используются представления решений в виде потенциалов [6,7,,,,,,,], а также формулы Грина и их векторные аналогии [,,,,,,,1]. Для численного решения интегральных уравнений широко используются методы квадратур и проекционно-сеточные методы [8, , , , ]. Хорошо известно, что аппроксимация интегральных уравнений с особенностями в ядрах сеточными методами приводит к системам алгебраических уравнений с плотно заполненными матрицами коэффициентов больших размерностей. Поэтому вычислительная сложность таких алгоритмов в значительной мере определяется объемом вычислений, необходимых для расчетов коэффициентов алгебраических систем с требуемой точностью, особенно при решении многомерных задач. При решении интегральных уравнений первого рода часто применяются методы регуляризации, которые позволяют строить устойчивые алгоритмы приближенных решений этих задач [,,]. Некоторые аспекты обоснования методов решения интегральных уравнений изложены в работах [8,,, ,,,,,]. ЭВМ. Применение других, более экономичных методов, хорошо зарекомендовавших себя при решении одномерных уравнений, к которым, прежде всего, можно отнести метод коллокации, сдерживается серьезными трудностями их теоретического обоснования, особенно для уравнений I рода [,,]. В данной работе применяется численный метод, сочетающий в себе простоту реализации метода коллокации с возможностью полного теоретического обоснования. Этот метод ранее применялся в работах |9|- [], []- [], []- []. В них задачи дифракции с помощью метода граничных интегральных уравнений (решение ищется в виде потенциалов простого слоя) сведены к системам интегральных уравнений по поверхности включения и предложен метод численного решения полученных систем. В диссертации [] такой подход был применен для численного решения задачи дифракции акустических воли на упругом включении. Теоретический анализ задачи оптимального управления процессом дифракции акустических волн (исследование корректности задачи, разработка алгоритма решения и обоснование его сходимости).