Численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени

• Автор: Иващенко, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 187 с. : ил.

Содержание
Введение
1. Аналитические методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным

коэффициентом

1.1. Определения и основные свойства интегродифференциальиых операторов

дробного порядка.

1.2. Уравнение диффузии дробного порядка

по времени

1.2.1. Случайное блуждание при непрерывном времени . .

1.2.2. Вывод уравнения диффузии дробного порядка

по времени
1.3. Аналитический подход к решению прямых и обратных задач для уравнения диффузии
дробного порядка по времени
1.3.1. Решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для уравнения диффузии дробного порядка но времени
1.3.2. Фундаментальное решение уравнения диффузии дробного порядка но времени.
1.3.3. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка по времени
1.3.4. Связь между фундаментальным решением уравнения диффузии дробного порядка по времени и функцией Грина первой краевой задачи.
1.3.5. Решение краевой задачи с однородными граничными условиями для уравнения диффузии дробного
порядка по времени методом Фурье.
1.3.6. Постановка и решение обратных задач для уравнения
диффузии дробного порядка по времени
1.4. Выводы
2. Численные методы решения прямых
и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом
2.1. Метод конечных разностей численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного
порядка по времени с постоянным коэффициентом.
2.1.1. Разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом . .
2.1.2. Обобщенный метод прогонки решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка
по времени с постоянным коэффициентом.
2.1.3. Получение оценок решения разностной краевой задачи
2.1.4. Исследование устойчивости разностной схемы
для уравнения диффузии дробного порядка по времени
2.1.5. Определение порядка аппроксимации разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка
по времени .
2.2. Метод МонтеКарло численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного
порядка по времени с постоянным коэффициентом.
2.2.1. Связь дробноустойчивых распределений с фундаментальным решением уравнения
с дробной производной но времени
2.2.2. Классическая модель случайного блуждания.
2.2.3. Построение дискретной модели случайного блуждания для диффузии дробного порядка по времени
2.2.4. Разложение случайного блуждания
на диффузионную и дисперсионную составляющие .
2.3. Результаты вычислительных экспериментов
2.3.1. Численное решение краевой задачи с однородными граничными условиями
2.3.2. Решение уравнения диффузии дробного порядка по времени методом МонтеКарло
2.4. Выводы.
Численные методы решения прямых
и обратных задач для уравнения диффузии
дробного порядка по времени
с переменным коэффициентом
3.1. Метод конечных разностей численного решения уравнения диффузии дробного порядка
по времени с переменным коэффициентом .
3.1.1. Интегроинтерполяционный метод построения разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка с переменным коэффициентом.
3.1.2. Обобщенный метод прогонки численного решения краевой задачи для разностного уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом
3.1.3. Получение оценок решения разностной краевой задачи
3.1.4. Исследование устойчивости разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка
по времени с переменным коэффициентом .
3.2. Метод минимизации функционала невязки решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени
с переменным коэффициентом
3.2.1. Постановка прямых и обратных задач.
3.2.2. Свойства решения разностной прямой задачи
3.2.3. Построение и основные свойства функционала невязки
3.2.4. Метод ЛевенбергаМарквардта минимизации
функционала невязки.
3.2.5. Метод секущих минимизации функционала невязки .
3.2 Метод ФлетчераРивса минимизации функционала
невязки
3.3. Результаты вычислительных экспериментов.
3.3.1. Выбор критериев останова алгоритмов в методе
минимизации функционала невязки
3.3.2. Исследование свойств функционала невязки.
3.3.3. Численное решение обратных задач для уравнения
диффузии дробного порядка по времени
3.3.4. Случай постоянного коэфициента .
3.4. Выводы.
Эволюционные методы решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным
коэффициентом
4.1. Применение генетических алгоритмов
для минимизации функционала невязки.
4.2. Применение алгоритма поиска по шаблону
для улучшения приближенного решения
4.3. Результаты вычислительных экспериментов.
4.3.1. Численное решение обратных задач для уравнения
диффузии дробного порядка по времени
4.3.2. Сравнительный анализ эффективности классических
и эволюционных алгоритмов .
4.3.3. Приме последовательного использования ГА
и метода Левенберга Марквардта
4.4. Выводы
Заключение
Список использованных источников


Впервые предложены постановки обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени, заключающихся в восстановлении обобщенного коэффициента диффузии и дробного показателя диффузии, и разработан комплекс программ и реализованы оптимизационные методы ньютоновского типа, сопряженных градиентов, а также эволюционные алгоритмы для их решения. Теоретическое значение работы заключается в том, что предложенные в пей постановки обратных задач являются новыми, а разработанные для их решения методы представляют собой обобщение существующих подходов на случай уравнений с дробной производной по времени. Практическая ценность работы состоит в том, что результаты исследований, проведенных в диссертации, позволят на практике по данным измерений строить математические модели сред с неизвестными характеристиками. Достоверность и обоснованность результатов подтверждена сравнением результатов решения прямых задач теории аномальной диффузии сеточными методами, методом МонтеКарло и аналитическими методами. Разработаны методы аналитического решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом, заключающихся в восстановлении его параметров коэффициента и порядка временной производной. Разработан алгоритм статистического моделирования метод МонтеКарло для решения прямых задач теории аномальной диффузии в однородных средах. Разработан метод конечных разностей численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени как с постоянным, так и с переменным коэффициентом. С помощью классической техники получены условия устойчивости разностных схем с весами для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным и переменным коэффициентом, а также оценки решений краевых задач для данного уравнения. Представлены новые постановки обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом, заключающихся в восстановлении его параметров коэффициента и порядка временной производной. Для их решения разработаны и реализованы в рамках программного комплекса ШРИАИБ оптимизационные алгоритмы ньютоновского типа, представляющие собой модификации методов ЛевенбергаМарквардта. ФлетчераРивса, а также гибридные эволюционные алгоритмы. Апробация работы. Н. Монахова в Институте гидродинамики СО РАН на семинарах чл. В.Г. Романова и проф. А.М. Блохина в Институте математики им. Региональная научная конференция Наука. Техника. Инновации. Новосибирск, , гг. Всероссийская научная конференция молодых ученых Наука. Технологии. Инновации. Новосибирск, , , , гг. Ii i i . Международная конференция Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения, посвященная 0летию со дня рождения академика Ильи Несторовича Веку а. Новосибирск, г. Всероссийская конференция по вычислительной математике КВМ. Новосибирск, г. Международная конференция Обратные и некорректные задачи математической физики, посвященной летию академика М. М. Лаврентьева. Новосибирск, г. Публикации. По теме диссертации опубликовано работ, в том числе 1 работа в журнале из перечня ВАК. Структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы из 9 наименований. Общий объем диссертации составляет 7 страниц, в том числе основной текст 3 страницы. Краткое содержание работы. В первой главе разработан аналитический подход к решению прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом. В разд. В разд. СТИЛУ. В разд. СТИЛУ , , , , , 3, а в разд. В разд. В разд. В разд. Грина данной задачи, и решение первой краевой задачи представлено в виде свертки функции Грина с функцией, определяющей граничное условие. В разд. Грина первой краевой задачи, а также установлена связь между функцией Грина и фундаментальным решением уравнения диффузии дробного порядка по времени. В разд. Фурье. В разд. Во второй главе рассматриваются численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом. В разд. В разд.