Разработка и исследование численных схем высокого порядка точности для решения уравнений газовой динамики на неструктурированных сетках

• Автор: Ляпунов, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ

ПРИНЯТЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА I ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ

ФУНКЦИЯМИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РЕШЕНИЮ ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЬНЫХ

ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ

1.1. Общая теория .метода Галеркина с разрывными функциями для решения одномерных законов сохранения

1.2. Одномерное уравнение конвекции

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2. Модельная задача и анализ порядка численной ошибки

. Одномерное уравнение теплопроводности

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2. Модельная задача и анализ порядка численной ошибки
1.4. Уравнение Бюргсрса с вязкостью
1.4.1 Точное решение уравнения Бюргсрса
1.4.2. Анализ порядка численной ошибки
Заключение по главе I
ГЛАВА II ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТОДА ГАЛЕРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ
ФУНКЦИЯМИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К РЕШЕНИЮ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИДИФФУЗИИ
2.1. Постановка модельной задачи
2.2. Реализация метода Галеркина с разрывными функциями
2.3. Решение систем линейных уравнений
2.4. Результаты численных исследований
Заключение по главе II
ГЛАВА III РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ЭЙЛЕРА ДЛЯ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ГАЛЕРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ БАЗИСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
3.1. Реализация метода Галеркина с разрывными функциями для решения уравнений Эйлера
3.2. Численные результаты, полученные при полигональном представлении границы обтекаемого тела
3.3. Параметрические элементы с криволинейными границами
3.4. Численные результаты, полученные при описании границы обтекаемого тела в виде параметрических элементов
3.5. Примеры решения уравнений Эйлера методом ОБ с адаптацией сетки к решению
3.5.1 Биплан Буземана
3.5.2. Профиль , М0., а1.
3.5.3 Профиль , М0., а3.
Заключение но главе III
ГЛАВА IV РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕСТОКСА ДЛЯ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ГАЛЕРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ БАЗИСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
4.1. Реализация метода Галеркина с разрывными функциями для решении уравнений НавьсСтокса
4.2. Численные примеры
4.2.1. Плоская пластина 6
4.2.2. Круговой цилиндр при
4.2.3. Профиль . М0.5, а0,
4.2.4. Профиль . М0.8, а,
4.3. Примеры адаптации сетки к решению уравнений НавьеСтокса с использованием метола
Заключение по главе IV
ГЛАВА V РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РЕЙНОЛЬДСА С МОДЕЛЬЮ
ТУРБУЛЕНТНОСТИ СПАЛАРТААЛМАРАСА ДЛЯ ПЛОСКИХ ТЕЧЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КОНЕЧНОЭЛЕМЕНТНОГО МЕТОДА ГАЛЕРКИНА С РАЗРЫВНЫМИ БАЗИСНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
5.1. Реализация метода Галеркина с разрывными функциями для решения уравнений Рейнольдса с моделью турбулентности Спаларта Алмараса
5.2. Некоторые результаты расчетов
5.2.1. Результаты расчета турбулентного обтекания плоской пластины при числах 6, 7
5.2.2. Результаты расчета турбулентного обтекания кругового цилиндра при .
5.2.3. Результаты расчета турбулентного обтекания профиле и сопоставление с известными экспериментальными данными 6, . Расчет по схеме с переменным порядком точности
5.2.4. Расчет трехэлементного профиля корпорации при числе М0.2 и числе с адаптацией сетки к решению
5.2.5. Расчет турбулентного трехмерного обтекания крыла
Заключение по главе V
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
ЛИТЕРАТУРА


Этот подход предполагает дифференцируемость решения необходимое число раз и, вообще говоря, неприменим к разрывным решениям по крайней мере, требует отдельного анализа. Обычно уравнения записываются в некой криволинейной системе координат. Данный подход по существу непригоден для работы с неструктурированными сетками, где узлы сетки не лежат на координатных линиях какойлибо координатной системы. В настоящее время этот подход практически не используется при работе с областями сложной геометрии. Метод конечного объема является в настоящее время наиболее распространенным. Он основан на интегральном представлении законов сохранения и, поэтому, применим к построению разрывных решений. В соответствии с этим подходом, неизвестными величинами являются средние значения физических переменных внутри ячеек. Решение в каждой ячейке реконструируется с использованием указанных неизвестных средних значений, и дискретные уравнения получаются путем записи законов сохранения для каждой ячейки для реконструированного решения. Поскольку на границах между ячейками реконструкция решения является разрывной, для описания потоков используются точные или приближенные методы решения задачи Римана о распаде произвольного разрыва. Годунов, , . Схема второго порядка получается при кусочнолинейной реконструкции Колган, , Родионов. Как было указано выше, схемы высокого порядка могут приводить к нефизичным осцилляциям численного решения. Т.н. В работе Годунов, доказано, что не существует монотонной линейной схемы порядка точности выше первого. Монотонизация схем высокого порядка или обеспечение свойства V невозрастания полной вариации осуществляется обычно путем введения ограничителей на градиенты реконструкции решения в ячейках. Впервые эта процедура при моделировании двумерных течений была предложена в работе Колган, . Схемы такого типа, называемые в зарубежной литературе аббревиатура от слов монотонные ориентированные схемы для законов сохранения были подробно рассмотрены в работах v , , , а, 6, . Еще более высокий порядок точности получается при реконструкции решения с помощью полиномов второго , , и более высоких порядков в т. Третий способ дискретизации законов сохранения возможен с помощью методов конечного элемента. В соответствии с ним, численное решение аппроксимируется линейной комбинацией непрерывных функций или имеющих требуемый порядок гладкости, в соответствии с порядком рассматриваемых уравнений с неизвестными коэффициентами, т. Обычно базисные функции имеют компактный носитель, т. В большинстве методов конечного элемента в качестве базисных функций используются полиномы от координат. Далее возможны различные способы получения уравнений для определения коэффициентов при базисных функциях. Одним из таких часто используемых методов является метод Галеркина, который также называют методом БубноваГалеркина Михлин, Смолицкий, . В соответствии с ним дискретные уравнения представляют собой условия ортогональности невязки базисным функциям в функциональном пространстве Ьг, записанные в т. При этом требования к гладкости базисных функций являются минимальными. Если невязка аппроксимируется также с помощью базисных функций, то такой подход называют собственно методом Галеркина. Если для аппроксимации невязки используется другое подпространство функций, то говорят о методе ПетроваГалеркина. Классический метод Галеркина достаточно хорошо математически обоснован и широко применяется для решения эллиптических и параболических задач. Применение его к гиперболическим задачам, к которым, в частности, относятся уравнения Эйлера динамики идеального газа, сталкивается с определенными трудностями, такими как неустойчивость итерационных процедур решения задач с начальными данными. Источник этих трудностей заключается в том, что дискретные уравнения, получаемые с помощью метода Галеркина, являются центрированными, т. Иными словами, в метод необходимо добавить диссипативные члены, аналогично тому, как это было описано выше для конечноразностных и конечнообъемных методов.