Параметризация вычислительного процесса в задачах математического моделирования

• Автор: Красников, Сергей Дмитриевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с. : ил.

1 Параметризация численного решения нелинейных краевых задач

1.1. Параметризация задачи.

1.2. Численные исследования

2 Параметризация решения в точках бифуркации

2.1. Поведение кривой в точке простой бифуркации.

2.3. Реализация алгоритма продолжения в точке простой бифуркации .

2.4. Продолжение решения в точке простого возврата.

2.5. Дискретное продолжение решения в особой точке вдоль гладкой кривой

2.6. Численные эксперименты

3 Численное моделирование прикладных задач

3.1. Сверхпроводящая пластина в магнитном поле.

3.2. Трехстержневая ферма
Заключение
Библиографический список
Введение


Также излагается результат позволяющий свободно проходить простые сингулярные точки, оставаясь на той ветви, которая соответствует гладкому продолжению. Рассматриваются вопросы устойчивости. Далее предлагается пять методов нахождения дополнительной ветви, которая появляется в точке бифуркации. Первый метод заключается в нахождении компонент разложения касательных векторов но специальному базису, для чего необходимо составлять квадратичную форму с приближенными коэффициентами. Второй метод заключается в поиске решения на некотором параллельном подмножестве, удаленном от точки бифуркации в направлении перпендикулярном к касательной, но лежащем на специальной плоскости. Третий метод заключается в непосредственном применении конструктивной теории существования ЛяпуноваШмидта. Этот метод позволяет построить уравнения, решая которые получаем вторую ветвь. Четвертый метод заключается в использовании способа аналогичного тому, который примененяли Крандалл и Рабинович для доказательства известной теоремы о ветвлении в точке простой бифуркации. В пятом методе используется специальное возмущение правой части, позволяющее избавится от точки бифуркации и, таким образом, расщепить ветви. Кратко рассматриваются миогопараметрнческие задачи и бифуркации Хопфа. Работа , посвящена различным аспектам применения метода продолжения по длине дуги кривой множества решений. Изложение кратко затрагивает некоторые вопросы нахождения и обработки точек бифуркации. Им целиком посвящен один раздел нелинейные задачи на собственные значения, бифуркации. В этом разделе дается определение точки бифуркации и простой точки бифуркации. ЛяпуноваШмидта, для простой точки бифуркации доказывается вариант теоремы КрандаллаРабиновича. Данная теорема дает условия при которых две гладкие кривые пересекаются в точке под ненулевым углом. Далее приводится важный результат ориентация кривой определитель производной Фреше оператора системы продолжения меняется при переходе через простую точку бифуркации результат, повидимому, впервые был получен М. А. Красносельским. Этот результат особенно важен для численного прохождения кривой и определения точки бифуркации. Отмечается, что в силу результатов Келлера о существовании конуса сходимости с центром в точке бифуркации, при достаточно малом шаге движения вдоль кривой, точка полученная предиктором попадает в этот конус сходимости ньютоновского корректора. Это позволяет проходить точку простой бифуркации с помощью стандартных предикторнокорректорых схем. Кроме того, появляется возможность детектирования специальных типов бифуркаций смена знака определителя расширенного якобиана системы. Отмечается, что в случае бифуркации Хопфа этот метод неприменим. Для более трудной задачи численного перехода на другую ветвь предлагается возмущать с помощью малого параметра систему уравнений продолжения. Такой подход становится возможным благодаря известной теореме Сарда, утверждающей, что иррегулярности имеют меру нуль. Таким образом специальным шевелениемпараметров задачи можно избавиться от точек бифуркации, и получить вторую ветвь. Обсуждаются недостатки данного подхода. Предлагаются еще два возможных подхода. Первый заключается в расширении первоначальной системы для непосредственной обработки точки бифуркации. Далее к расширенной системе применяется, например, метод Ньютона. Данный подход получил свое развитие в работах Зейделя и Вебера. Второй подход заключается в построении бифуркационного уравнения, из которого затем определяются касательные к различным ветвям. Этот подход разрабатывался в работах Келлера и Рейнболдта. Более детально обсуждается лишь первый подход. Описывается алгоритм Алговера и Шветлика являющийся одной из реализаций такого подхода. Далее кратко рассматривается возможность появления кратных бифуркации при условии, что система демонстрирует определенную симметрию. Краткость изложения компенсируется ссылками на соответствующие результаты. В статье дается введение в локальную теорию бифуркаций однопараметрических систем около положения равновесия как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для отображений Пуанкаре.