О точности метода динамической регуляризации моделирования управления в системе обыкновенных дифференциальных уравнений

• Автор: Рублева, Светлана Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 132 с. : ил.

Оглавление
.

Основные используемые обозначения

Введение

1 Задача численного дифференцирования

1.1 Верхняя оценка точности к.д.а. в а, Ь

1.2 Нижняя оценка точности к.д.а. в 71 а, 6.

1.3 Численное моделирование пример и прикладная задача .

2 О точности виртуального управления при постоянном образе матрицы коэффициентов при г

2.1 Случай обратимости ,

2.2 Верхняя оценка точности в общем случае.

3 О точности виртуального управления при постоянной размерности образа матрицы ,ж
3.1 Погрешность оператора восстановления.
3.2 Оценка точности виртуального управления
т2 к кг
4 ьг 7 разность управлении виртуальном модели и поводыря
4.1 Шаг первый получение оценки по традиционной схеме
4.2 Шаг второй улучшение оценки.
5 Обобщающие оценки. Результаты моделирования
5.1 Асимптотические порядки точности на множествах корректности
5.1.1 Верхняя оценка точности в случае обратимости ,я вдоль движения.
5.1.2 Верхняя оценка точности в случае постоянства подпространства , .
5.1.3 Верхняя оценка точности в случае постоянства размерности подпространства Яа ,
5.2 Сравнение с другими методами
5.3 Приложение к одной задаче вибродиагностики
Литература


Согласно этому подходу’, в рамках которого выполнена настоящая работа. Этот процесс осуществляется синхронно с формированием фазового вектора динамической системы. Рассмотрим задачу моделирования входа г»(-) (далее будем его называть управлением), реализующего движение динамической системы, описываемой уравнением (0. I Е [а, 6], х(а) = х0. Здесь #(•), /(•) — непрерывные отображения [а, 6] х Ят в пространство Ят с евклидовой нормой | • | и в ЯтХ(1 со спектральной нормой || • || соответственно. Значение управления ь(С) Е Яп. Допустимыми управлениями назовем измеримые на [а, Ь) по Лебегу функции 1>(-) со значениями из некоторого выпуклого компакта <2 с У? Множество всех допустимых управлений обозначим Ы. Движение системы, порожденное допустимым управлением г>(*), трактуется как решение задачи (0. Каратеодори. Совокупность таких движений обозначим X(*;(•)). Предполагая, что Х(и(-)) непусто для любого у(-) Е и, фиксируем непустое равномерно ограниченное множество X С У Х(г;(*)). Е X справедливо при всех I Е [а, 6], я(-) Е X. Функция ? Множество всех таких измерений обозначается Н/,(х(*)). Отмстим, что задача моделирования допустимого управления, порождающего движение ? Адамару, хотя бы потому, что множество И(а;(-)), допустимых управлений, порождающих движение х(-), вообще говоря неодноэлементно. Одним из стандартных приемов регуляризации. Ь2[а,Ь] среди всех допустимых управлений из (. Как отмечается в [], такое управление существует и в силу строгой выпуклости нормы в Ь2[а,Ь] единственно с точностью до эквивалентности по мере Лебега. Отметим, что многие некорректные задачи сводятся к решению операторных уравнений первого рода Ау(-) = я(-). У[а, 6] и Х[а, 6]. Пусть Б — совокупность операторов Бд : Е/1(х(-)) —* II. Нш Бир ||? Нл(х(. Свойства семейства операторов Бд во многом зависят от априорной информации [, , ] о решении т;(-), выходе ж(*), статистических характеристиках распределения ошибок и об операторе А. В рассматриваемом нами случае оператор А определяется системой (0. В дальнейшем нами будут рассматриваться следующие варианты априорной информации. Для наблюдаемого движения х(-) системы (0. X С Ят такой что имеют место условие х1 — . Е т? Ь. G iniQ для всех ? Липшица, и известно v*(a). Замечание 1. Замечание 2. Условие по сути гарантирует существование и единственность выхода х(-) [, ]. Более подробно остановимся на описании одного алгоритма динамической регуляризации построения решения рассмотренной выше задачи. Суть этого метода, предложенного в [], моделирующего нормальное управление, состоит в следующем. Пусть заданы положительное h G R, функции а(-), Д(-) : (0,оо) —» (0,оо), выпуклый компакт Q С R4. В начальный момент L = а (либо заранее) считаются известными вид системы (0. Д(/ь)), начальное состояние модели Wh(h) = ? На каждом промежутке разбиения [? Б/1(. U+i системы модели, функционирующей на [? U), (0. Отметим, что в случае, когда определение щ не использует значений функций времени для С > ? По этой причине алгоритм относится к классу конечношаговых динамических алгоритмов (к. Относительно к. Утверждение 0. Нт = 0. Тогда О) ' — Ь2 - нормально регуляризирующий. Другие, построенные в рамках концепции динамической регуляризации, Ьо - регуляризирующие алгоритмы рассматривались в работах [, , , , : , , 3). Как отмечается в [], важной с точки зрения выбора метода решения задачи, не удовлетворяющей условиям корректности, является проблема оценки точности полученного с его помощью приближенного решения и вычисления оценок снизу для точности произвольных решений. Построение оценок снизу дает представление о минимально возможном уровне погрешности для оптимального метода решения рассматриваемой некорректной задачи и оптимальных по точности (или по порядку) приближенных решениях таких задач. Определение. X) точностью семейства операторов Ип в пространстве У[а, 6], если существхуст полооюительпос число Н* такое, что для всех Н € (0,/г*], х(-) 6 X, ? Е/1(х(-)) имеют . Н) ^ эир ||г>*(-) - (? С,, г = 1,2 такие, что СЬ? С2Л(/,). Число г называется асимптотическим порядком точности к.