Моделирование систем с опережением и запаздыванием

• Автор: Короткий, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 123 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Обозначения и соглашения.

Введение .

Глава I. Линейные системы .

1.1. Постановка задачи

1.2. Теоремы существования и единственности решения .

1.3. Примеры с неединственностью решения

1.4. Примеры несуществования решения

1.5. Непрерывная зависимость решения от параметров

1.6. Формула Коши .

1.7. Расщепляющиеся и связанные по состоянию задачи.

1.8. Численные методы и сходимость к точному решению
1.9. Численное моделирование
Глава II. Нелинейные системы
2.1. Постановка задачи
2.2. Теорема существования и единственности решения
2.3. Непрерывная зависимость решения от параметров
2.4. Расщепляющиеся и связанные по состоянию задачи.
2.5. Численные методы и сходимость к точному решению
2.6. Численное моделирование
Глава III. Задачи оптимального управления .
3.1. Постановка задачи
3.2. Линейный случай
3.3. Квазилинейный случай .
3.4. Численное моделирование
Список литературы


Доказана теорема о сходимости приближенных решений, найденных по схеме Эйлера, к точному решению исходной дифференциальной задачи при стремлении шага разностной сетки к нулю. Приводится также оценка скорости сходимости. В последнем параграфе главы проводится описание численного моделирования рассматриваемых краевых задач. Исходная дифференциальная задача аппроксимируется по явной разностной схеме Эйлера. Затем получившаяся в результате аппроксимации система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) решается тремя различными итерационными методами : методом Гаусса-Зейделя, методом сопряженных градиентов и методом минимальных невязок. Результаты расчетов сравниваются между собой и сравниваются с точным решением исходной дифференциальной задачи. Для каждого из методов решения СЛАУ указаны условия их сходимости. Проведены вычислительные эксперименты и приведены сравнительные характеристики результатов вычислений. В одном из примеров, в котором решение дифференциальной задачи существует и единственно, итерации каждого из рассматриваемых методов решения СЛАУ достаточно быстро сходятся к точному решению СЛАУ и при соответствующем измельчении разностной сетки приближенные решения достаточно быстро сходятся к точному решению исходной дифференциальной задачи. В другом примере, в котором не выполняются соответствующие условия существования и единственности решения дифференциальной задачи, итерации рассматриваемых методов решения СЛАУ дают некоторые приближения решения СЛАУ, причем каждый метод дает некоторое свое приближение и, вообще говоря, не наблюдается сходимости к какому-нибудь одному приближению при увеличении числа итераций; при измельчении разностной сетки приближенные решения не сходятся к предъявленному точному решению исходной дифференциальной задачи. Программные сродства, предназначенные для численного моделирования, описаны в Приложении-1. Там же приводятся несколько иллюстраций пользовательского интерфейса. Вторая глава посвящена исследованию краевых задач для некоторых классов нелинейных систем с опережением и запаздыванием. В этой главе результаты, полученные в первой главе для линейных систем, обобщаются на нелинейные краевые задачи. Сформулированы и доказаны некоторые теоремы о разрешимости краєві,їх задач, указаны условия непрерывной зависимости решения от параметров (исходных данных краевой задачи и правой части системы). Исследуются также некоторые специфические краевые задачи, которые возникают при рассмотрении задач оптимального управления для систем с запаздыванием и квадратичным критерием качества. Указаны условия разрешимости таких задач. Разработаны численные методы нахождения приближенных решений нелинейных задач, основанные на подходе Эйлера. Указаны методы приближенного решения нелинейных систем алгебраических уравнений, появляющихся при дискретизации дифференциальной задачи. В частности, приведены некоторые условия сходимости метода простых итераций, который оказывается весьма удобным и петрудоемким при численном моделировании. Сформулирован), і также условия сходимости решения дискретизированной задачи к точному решению дифференциальной задачи. Указаны оценки точности приближений. Проведены вычислительные эксперименты, результаты которых приведены в заключительном параграфе. Описание программного комплекса, с помощью которого можно проводить численное моделирование решений нелинейных краевых задач для систем с опережением и запаздыванием, помещено в Приложении-2. Там же имеется несколько вкладок пользовательского интерфейса. В третьей главе рассматриваются задачи оптимального управления для систем с запаздыванием и квадратичным критерием качества. Хорошо известно [, , - ], что принцип максимума в таких задачах приводит к сопряженным системам, которые являются системами с опережением. Совместное использование исходной и сопряженной систем дает систему оиережающе-запаздывающего типа (систему оптимальности). Как сами системы такого типа, так и содержательные задачи для таких систем изучены в литературе достаточно слабо.