Нелинейные задачи на собственные значения, описывающие распространение ТЕ- и ТМ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах

• Автор: Смолькин, Евгений Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 119 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Нелинейная задача сопряжения на собственные значения, описывающая распространение ТЕ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных неоднородной нелинейной средой

1.1 Постановка задачи

1.2 ТЕ-волны

1.3 Дифференциальные уравнения задачи

1.4 Условия сопряжения и задача сопряжения

1.5 Нелинейное интегральное уравнение

1.6 Исследование интегрального уравнения

1.7 Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра

1.8 Итерационный метод

1.9 Дисперсионное уравнение
1.10 Существование решений дисперсионного уравнения
2 Нелинейная задача сопряжения на собственные значения, описывающая распространение ТМ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных неоднородной нелинейной средой
2.1 Постановка задачи
2.2 ТМ-волны
2.3 Дифференциальные уравнения задачи
2.4 Условия сопряжения и задача сопряжения
2.5 Система нелинейных интегральных уравнений
2.6 Исследование операторного уравнения

2.7 Теорема о непрерывной зависимости решения от спектрального параметра
2.8 Итерационный метод
2.9 Дисперсионное уравнение
2.10 О разрешимости линейной задачи сопряжения на собственные значения
2.11 Существование решений дисперсионного уравнения
3 Численный метод определения приближенных постоянных распространения
3.1 Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТЕ-волн
3.1.1 Существование постоянных распространения
3.1.2 Метод вычисления собственных значении
3.2 Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения на собственные значения для ТМ-волн
3.2.1 Существование постоянных распространения
3.2.2 Метод вычисления собственных значений
4 Комплекс программ и численные результаты.
4.1 Комплекс программ для численного решения задачи РЕ
4.2 Численные результаты для задачи РЕ
4.3 Комплекс программ для численного решения задачи Рм
4.4 Численные результаты для задачи Рм
Литература

Введение
Задачи об исследовании спектра собственных волн различных волноведущих систем в электродинамике интенсивно изучаются в течение нескольких десятилетий и остаются актуальными в связи с их широким практическим применением, например, в современной микроэлектронике, в оптике, в лазерной технике [1, 2, 3, 4, 16, 27, 37, 42, 50, 51]. Необходимость теоретического исследования существования и свойств собственных волн диктуется практической потребностью разработки и расчета оптических устройств и устройств СВЧ. Успехи в разработке данного направления электродинамики привели к построению различных классов волноведущих структур.
Распространение электромагнитных волн в волноводах с заполнением линейной однородной средой (то есть когда диэлектрическая и магнитная проницаемости постоянны) является классической и хорошо изученной задачей [5, 27, 34].
Математическая теория линейных неоднородных волноведущих систем развивалась, например, в [52, 21].
В теории распространения собственных электромагнитных волн в нелинейных однородных волноводах, т.е. волноводах с нелинейной зависимостью диэлектрической проницаемости от модуля интенсивности электрического поля, получено гораздо меньше результатов. Несмотря на то, что попытки решения таких задач предпринимались в течение длительного времени, многие важные результаты, в первую очередь существование собственных значений в задачах, как для плоских, так и
Основным результатом этой главы является следующая
Теорема 1.2. Пусть числа Е, £3, е — min £2 (р) удовле-
рф 1,Д2]
творяюгп условиям min (£х,£з) > £о, £2 > тах(£х,£з) > 0 и
существуют целые числа к > 1 и I > 0, чт,о справедливо тах(£х,£з) < Л/ < Л/+1 < ... < Xi+k-i < A;+*. < £2, где А, собственные значения задачи (1.15). Тогда найдется число ац > 0 такое, что для всякого а < а о существует по крайней мере к собственных значений 7, задачи Ре, причем 7, G (/Аг_1 + ф_х, VX — ф) , г = 1, к.
Доказательство. Функция Грина существует для всех 7 G Г. Также ясно, что функция А (7) = —-—']||^3||Ni^ )ц является непрерывной функцией при 7 G Г. Пусть А = minM (7) и пусть а < А. В соответствии с

утверждением 1.3 существует единственное решение и = и (7) уравнения (1.20) для всякого 7 G Г. Это решение является непрерывной функцией и IMI < г* = г* (7). Пусть гоо = тахг* (7). Оценивая Р (Л), мы получаем

IР (А)| < Сгоо, где С - некоторая постоянная.
Функция g (7) непрерывна и уравнение g (7) = 0 имеет по крайней мере один корень 7, внутри отрезка Г,, то есть Лг_х + ф-х < ~{г < л/ф — 6г. Обозначим М = min |р(Х + Ф)|, М2 = min | 1<г<1+к-1 14 '1 i+i Тогда, величина М = min {Mi, МД положительна и не зависит от а.
Если а < тгтг- тогда ОГ00 '
{Сд ^vX-i + Ф-i) — olP (y/ÏTi + ^г_1)) х
X (cl9 (vX - ф) - аР (vX - ф)) < 0.
Функция Сд (А) — аР (А) является непрерывной, следовательно, уравнение Сд (А) — аР (А) = 0 имеет корень 7, внутри Гг, то есть т/ф + ф < Ъ < vXX-ф+х- Мы можем выбрать «о = min | А, щ-}- П
Из доказанной теоремы следует, что при условиях, сформулированных выше, существуют осесимметричные распространяющиеся ТЕ-