Метод естественных соседей для решения задач идеальной несжимаемой жидкости со свободными границами

• Автор: Карабцев, Сергей Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Кемерово
• Количество страниц: 163 с. : ил.

Оглавление
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. МЕТОД ЕСТЕСТВЕННЫХ СОСЕДЕЙ.

1. Интерполяция Сибсона.

2. Метод естественных соседей

2.1. Постановка задачи

2.2. Описание метода

3. Решение системы линейных алгебраических уравнений.

3.1. Метод сопряженных градиентов.

3.2. Предобусловливатель матрицы

3.3. Формат хранения данных.
3.4. Тестирование метода решения СЛАУ.
4. Тестирование метода естественных соседей
ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ
1. Этапы модификации метода естественных соседей.
2. Постановка задачи в общем виде
3. Схема движения по времени.
4. Пространственная дискретизация
5. Вычисление нагрузок, проверка законов сохранения, выбор шага по
времени.
6. Построение диаграммы Вороного.
6.1. Основные определения.
6.2. Идея метода i.
6.3. Реализация алгоритма
7. Определение границ расчетной области
7.1. Метод а
7.2. Реализация алгоритма
8. Расширенная триангуляция Делоне.
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ.
1. Решение тестовых и модельных задач методом естественных соседей
1.1. Задача о деформации жидкого эллипса
1.2. Движение уединенной волны по бассейну с ровным дном
1.3. Взаимодействие уединенных волн с вертикальными преградами.
1.4. Колебание жидкости в ограниченном объеме
2. Движение уединенной волны над прямоугольной ступенькой.
3. Взаимодействие уединенной волны с подводным препятствием.
ГЛАВА 4. ПАРАЛЛЕЛЬНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ЕСТЕСТВЕННЫХ СОСЕДЕЙ.
1. Распараллеливание алгоритма метода естественных соседей
2. Тестирование параллельного алгоритма.
Заключение.
ЛИТЕРАТУРА


Также большое распространение получил способ внедрения граничных условий на основе разбиения области конечными элементами и применения стандартной процедуры МКЭ, изменяющей коэффициенты матрицы. Дополнительно в бессеточных методах для аппроксимации неизвестных функций требуется обеспечить узловую связность и вычислить значение производной от функции формы, что в некоторых методах представляет серьезные трудности. В связи с вышесказанным, особенно актуальным является разработка вычислительных алгоритмов, объединяющих сеточный и бессеточный подходы и использующие преимущества каждой из методологий. Характерными представителями этой группы методов являются бессеточный метод конечных элементов (Meshless Finite Element Method, MFEM) [3, 3] и метод естественных соседей (Natural Element Method, NEM) [4]. Методы NEM и MFEM основываются на интерполяции естественных соседей (natural neighbour interpolation) [, , 1, 2]. В вычислительной геометрии понятие естественных соседей связано с понятием ячейки Вороного: для заданного узла р, ячейка Вороного - объединение точек пространства, расстояние от которых до р. Ячейки Вороного разбивают все пространство на выпуклые многоугольники, в каждом из которых находится только один из узлов системы точек. Естественными соседями точки р. Вороного которых имеют общее ребро. Вороного можно разработать эффективные алгоритмы поиска естественных соседей, которые применяются при вычислении функций формы для методов ИЕМ и МРЕМ. В основе МИЕМ лежит классический метод конечных элементов. Для аппроксимации неизвестных функций используются функции формы Лапласа [, ]. Делоне, обеспечивающей единственность разбиения и, тем самым, единственность результата интерполяции. Метод естественных соседей был предложен в году в работе [7] для решения задач теории упругости. В основе метода лежит интерполяция Сибсона, которая строится по произвольно заданному множеству расчетных узлов на ячейках Вороного первого и второго порядков. Коэффициенты интерполяции Сибсона в плоском случае определяются как отношение площади пересечения ячеек Вороного второго порядка для точки х , введенной в заданное разбиение, с площадью ячейки Вороного первого порядка, содержащую точку х . ЬШМ представляет собой разновидность метода Галеркина, в котором базисные и весовые функции совпадают. Для формирования дискретной системы уравнений используется метод взвешенных невязок в слабой форме. Главным преимуществом интерполяции Сибсона является ее четкая определенность, независимость построения и устойчивость на неравномерном распределении расчетных узлов. Сибсона является объединение всех кругов Делоне для заданного узла р1. RJ ), в то время как функции формы Лапласа рассматривают меры, на единицу меньшей размерности. Сибсона позволяет получить более точные результаты, чем интерполяция Лапласа. Однако построение сибсоновских функций формы является трудоемкой задачей вычислительной геометрии, что увеличивает временные затраты при вычислении коэффициентов интерполяции. Для внедрения граничных условий используется подход, который применяется в МКЭ. Тем самым в методе естественных соседей преодолеваются основные трудности, свойственные большинству бессеточных методов, - вычисление функций формы, вычисление производных от искомой функции и внедрение граничных условий. Данные методы позволяют достаточно точно воспроизводить кинематику течений, однако получение динамических характеристик, необходимых для расчета гидродинамических нагрузок, является весьма затруднительной задачей. Актуальность определения динамических нагрузок при взаимодействии поверхностных волн с береговыми и донными сооружениями обусловлена вероятностью появления катастрофических последствий, возникающих в том случае, когда гидродинамические нагрузки превышают допустимые пределы. При проектировании морских сооружений необходимо оценивать степень воздействия поверхностных волн на различные объекты. Проблема прочности конструкций и сооружений, взаимодействующих с жидкостью, занимает центральное место при оценке их эффективности и времени жизни.