Математическое моделирование волновых процессов и ауторегуляции при течении крови в сосудах

• Автор: Чернявский, Игорь Леонидович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 134 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Математические модели взаимодействия стенки сосуда и

потока крови

1.1 Особенности строения и функции стенки кровеносных сосудов .

1.2 Зависимость давления крови от радиуса артерии

1.3 Вывод уравнения состояния для вязкоэластичного сосуда.

с помощью вариационного подхода

1.4 Гидродинамическое описание кровотока в сосудах.

1.5 Математические модели взаимодействия потока крови со

стенкой артерии и методы их исследования.

1.6 Выводы но первому разделу .
2 Нелинейные пульсовые волны при течении крови в артерии
2.1 Система уравнений для описания течения крови в вязкоэластичном сосуде
2.2 Асимптотические методы анализа распространения пульсовых волн в сосудах.
2.3 Эволюционные уравнения для описания нелинейных пульсовых волн в крупных артериях
2.4 Численное моделирование распространения возмущений в
вязкоэластичном сосуде.
2.5 Выводы по второму разделу .
3 Регуляция кровотока с помощью оксида азота в тонкостенной артерии
3.1 Механизм эндотелийзависимого расслабления
мышц в стенке артерии
3.2 Основные предположения модели для описания процесса локальной ауторегуляции
3.3 Динамическая система для описания адаптации артерии к изменению кровотока с учетом биохимических процессов .
3.4 Исследование устойчивости равновесного состояния артерии
3.5 Качественный анализ динамической системы ауторегуляции .
3.6 Выводы по третьему разделу
4 Численное моделирование процесса ауторегуляции с учетом диффузии
4.1 Математическая модель локальной ауторегуляции с учетом диффузионнокинетических процессов.
4.2 Система уравнений для описания течения крови в артерии,
с учетом активного напряжения .
4.3 Условие процесса ауторегуляции кровотока в тонкостенном сосуде.
4.4 Модель для описания расширения пассивной артерии . .
4.5 Стационарные распределения концентраций оксида азота
и ионов кальция в сосудистой стенке
4.6 Численное моделирование процесса ауторегуляции вблизи равновесного состояния артерии.
4.7 Выводы по четвертому разделу
Заключение
Приложение алгоритмы численного моделирования
Список литературы


Установлена роль вязкоэластичности в обеспечении устойчивости равновесного состояния артерии и проведено исследование влияния диссипативных процессов на демпфирующую функцию кровеносного сосуда. Обоснованность и достоверность результатов работы определяется выбором математических моделей, основанных па законах сохранения, а также подтверждаются сравнением результатов численных расчетов с тестовыми точными решениями и экспериментальными данными. Апробаи>ия работы. Основные результаты и положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах и конференциях: на семинаре кафедры прикладной математики МИФИ «Современные проблемы математики» в и годах; на семинаре Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований, Дубна, сентябрь года; на семинаре кафедры Гидромеханики МГУ под руководством A. А.Н. Голубятникова, сентябрь года; на IX всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, Россия, август ; на XIII международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-», МГУ, Москва, Россия, апрель года; на XXXII и XXXIII международной летней школе-конференции «Актуальные проблемы механики», Санкт-Петербург, Россия, июнь и года (АРМ-, АРМ-); на V съезде по физиологическим течениям, Империал Колледж, Лондон, Великобритания, сентябрь года; на ежегодной Научной Сессии МИФИ в , , и годах [-]. Практическая значимость работы. Краткое содеро/сапие работы. Первый раздел посвящен выводу математических моделей, которые будут детально рассмотрены в последующих главах. Представлен исторический обзор задач гемодинамики и развитие методов их исследования. Обсуждаются уравнения состояния, характеризующие соотношение между напряжениями и деформациями для биологических тканей стенки кровеносного сосуда. С помощью вариационного принципа наименьшего действия для полной механической энергии артерии получено уравнение связи давления крови и радиуса сосуда. Приводятся профили осевых скоростей для двумерного аксиально-симметричного течения несжимаемой жидкости в вязкоэластичном сосуде. Учитываются установившиеся режимы для квазистационарного и пульсирующего потока. В квазиодномерном приближении получены гидродинамические уравнения сохранения массы и импульса, усредненные по поперечному сечению артерии. Рассматриваются аналитические и численные подходы к изучению замкнутых систем уравнений, описывающих взаимодействие потока крови и сосудистой стенки для моделей различной размерности и в разных геометриях. Обсуждаются вычислительные сложности задач гемодинамики и перспективы сочетания аналитических и численных методов, позволяющих выделить существенные механические свойства артерии и определить их влияние на особенности кровотока. Во втором разделе предложено описание методов анализа сформулированной в первом разделе системы уравнений течения несжимаемой жидкости в нелинейно-вязкоэластичном аксиально-симметричном сосуде. Предполагается, что течение характеризуется большими числами Рейнольдса и является докритическим, то есть скорость течения много меньше скорости распространения возмущений в потоке. Для линеаризованной системы уравнений гемодинамики находится скорость Моэнса-Кортевега распространения воли давления, расхода и эластических волн в кровеносном сосуде. Выбираются безразмерные переменные и исходная система уравнений анализируется с привлечением математического аппарата теории возмущений и метода многих масштабов, учитывающих наличие малых параметров. Находится семейство нелинейных эволюционных уравнений для описания распространения длинноволновых возмущений (пульсовых волн) в сосуде. Получены точные решения некоторых уравнений из этого семейегва и приводится классификация влияния механических свойств модели на эволюцию возмущений в различных пространственно-временных масштабах. Представлено численное исследование волн, описываемых нелинейными эволюционными уравнениями, и выполнено сравнение различных типов диссипации при распространении пульсовой волны.