Математическое моделирование процессов, характеризующихся диффузионными связями и случайными воздействиями в виде белого и цветного шумов

• Автор: Парамошина, Ирина Геннадьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 93 с. : ил.

Оглавление
Введение.

1 Постановка задачи

1.1 Процесс реакции деления тяжелых ядер со случайными внешними воздействиями.

1.2 Процесс развития популяции, находящейся под воздействием случайных возмущений.

1.3 Модель, описываемая стохастическим уравнением

Бюргерса.

2 Разработка аналитического аппарата, необходимого для

решения поставленных задач.

2.1 Необходимые сведения.

2.1.1 Стохастические интегралы и стохастические дифференциальные уравнения

2.1.2 Симметричный интеграл как обобщение стохастического интеграла Стратоновича. Детерминированные аналоги стохастических дифференциальных уравнений
2.2 Исследование некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных с симметричным
интегралом.
2.2.1 Связь дифференциальных уравнений с симметричным интегралом с классическими дифференциальными уравнениями. Структура решения
2.2.2 Структура диффузионного процесса и фундаментальное решение уравнения КолмогороваФоккераПланка.
2.3 Стохастические дифференциальные уравнения в частных
производных параболического типа и стохастическое уравнение
Бюргерса.
2.3.1 Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных параболического типа связь с классическими
дифференциальными уравнениями, структура решения
2.3.2 Стохастическое уравнение Бюргерса
3 Численноаналитическое решение и моделирование
исследуемых процессов.
3.1 Моделирование траектории винеровского процесса.
3.2 Численноаналитическое решение моделей процесса реакции деления тяжелых ядер и процесса развития популяции в случайной среде
Численноаналитическое решение стохастического уравнения
Бюргерса
Заключение.
Список литературы


Сегодня теория Ито применена не только к марковским процессам, но и к большому классу случайных процессов. Этот подход дает мощное орудие для описания и анализа случайных процессов. Часто теория Ито называется случайным анализом или стохастическим исчислением, к настоящему времени этой теории посвящено огромное количество литературы. Часть этой литературы может быть найдена в ссылках в книгах И. И. Гихмана, А. В. Скорохода [9], С. Ватанабэ, Н. Икэда [6]. Для стохастических дифференциальных уравнений получены условия существования и единственности решений при различных условиях на коэффициенты ([], [], [], []). Под явными формулами для решений СДУ понимаются обыкновенное дифференциальное уравнение или цепочка таких уравнений, которые позволяют найти решение исходного СДУ. Хотя теория обыкновенных стохастических дифференциальных уравнений разработана достаточно полно, явные формулы для решений известны лишь применительно к достаточно узкому классу уравнений [2], [6], []. В работах [6], [] рассматриваются такие вероятностные методы решения СДУ как преобразование сноса и случайная замена времени. Суть этих методов заключается в преобразовании исходного вероятностного пространства. При этом на исходное пространство и на само уравнение накладываются дополнительные условия, что значительно сужает область применения таких методов для решения. Изначально стохастические уравнения Ито предназначались для описания на вероятностном языке диффузии в газах и жидкостях (первые варианты такого описания были получены в работах А. Эпштейна, М. Смолуховского [], Н. Винера [], И. И. Гихмана [7| и др. Однако, впоследствии оказалось, что они являются очень удобным аппаратом для решения многих других физических и инженерных задач. В частности, эти уравнения с успехом применяются в теории фильтрации случайных процессов диффузионного типа. Причем, как показано в работе [], само уравнение для фильтрационной плотности представляет собой пример стохастического дифференциального уравнения в частных производных. Подобные же уравнения возникают во многих областях знаний -физики, химии, биологии и других. Характерной особенностью почти всех упомянутых работ является то, что в них строятся и исследуются модели, которые описываются стохастическими дифференциальными уравнениями в частных производных, и для них доказываются теоремы о существовании и единственности решений, но способов решения не предложено. В работе [] получено точное решение стохастических задач для ряда моделей (марковские процессы с конечным числом состояний, гауссовский марковский процесс и функции от этих процессов). Говоря о стохастических дифференциальных уравнениях, следует также упомянуть работу [], в которой условия существования и единственности решения получены для случая многомерного винеровского процесса и для нелинейных стохастических уравнений в частных производных. Нелинейное стохастическое уравнение Бюргерса. Хотя литература, посвященная уравнению Бюргерса огромна, оно продолжает оставаться предметом многих работ ( [1], [], [], [], [)). При этом в последнее время в центре внимания оказывается именно уравнение Бюргерса с источником ( [], []). В работах [], [] получены точные решения задачи Коши для уравнения Бюргерса в случае, когда зависимость от координаты функции источника сингулярная, то есть описывается либо ^-функцией, либо ее производной. В работе [] предлагается метод, позволяющий получать решения для случая непрерывной функции источника. Для численного решения стохастических дифференциальных уравнений существует общий метод Выоси [], посредством которого может быть исследован, в принципе, широкий класс стохастических систем с использованием метода Монте-Карло. Этот метод, в силу большой общности, недостаточно эффективен для численного решения СДУ, поскольку он ориентируется на общие свойства стохастических систем и не учитывает специфическую структуру стохастических дифференциальных уравнений, характеризуемую их коэффициентами сноса и диффузии. Другой известный численный подход Г. Дж.