Математическое моделирование нелокальных физических процессов в средах с фрактальной структурой

• Автор: Нахушева, Виктория Адамовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 268 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава I. Фрактальные дифференциальные уравнения состояния и переноса

1.1. О дифференциальных уравнениях состояния дробного поряд

ка в сплошных средах

1.2. Об одном интегральном представлении решений уравнения состояния Барретта

1.3. О модельных уравнениях переноса в средах с памятью

1.4. Уравнение неразрывности в средах с фрактальной структурой

и обобщенное уравнение переноса дробного порядка

1.5. Об эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дроб

ного порядка

1.6. О классе фрактальных уравнений с частными производными
и математических моделях диффузионного переноса
Глава И. Качественные свойства базовых дифференциальных уравнений математических моделей фрактальных процессов
2.1. Задача Лыкова и качественные свойства ее решения
2.2. Принцип экстремума для фрактальных уравнений параболи
ческого типа .
2.3. Принцип экстремума для фрактального уравнения эллипти
ческого тина
2.4. Видоизмененные задачи Коши и Дирихле для уравнения Бар
ретта .
2.5. Смешанная задача для фрактального волнового уравнения .
2.6. Энергетическая оценка для многомерного фрактального опе
ратора диффузии
2.7. Смешанные краевые задачи для модельного гиперболопара
болического уравнения
2.8. Структурные и качественные свойства решений дробного ос
цилляционного уравнения и фрактальных тригонометрических функций.
2.9. Об уравнении фрактального осциллятора.
2 Обобщенное уравнение одномерной фильтрации в средах с фрактальной структурой .
2 Качественные и структурные свойства фрактальных моделей адиабатического процесса . . . .
Глава III. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой и обобщенные законы КольраушаУильямсаУоттса
3.1. Модельные уравнения переноса в средах с фрактальной струк
турой .
3.2. Обобщенные законы КольраушаУильямсаУоттса
3.3. К проблеме корректного выбора уравнения состояния вещества
3.4. Об одном классе уравнений состояния вещества.
3.5. Математическая модель распределения плотности при дето
нации взрывчатых веществ с помощью синхротронного излучения
3.6. Об одном классе реологических уравнений состояния.
Глава IV. Математическая модель теплообмена в составной среде с идеальным контактом
4.1. Построение математической модели.
4.2. Условия линейного сопряжения.
4.3. Постановка краевых задач для смешанного типа уравнения теплопроводности с нелокальным условием сопряжения . . .
4.4. Качественный анализ модельного варианта смешанной крае
вой задачи с нелокальным условием сопряжения
4.5. Алгоритм редукции задачи о распределении температуры в точке идеального контакта к смешанной задаче с нелокальным условием линейного сопряжения
4.6. О фундаментальном соотношении между температурой и ее градиентом в точке идеального контакта в случае обобщенного закона Фурье
4.7. Фундаментальное соотношение между температурой и ее гра
диентом в точке идеального контакта в случае закона Фурье
4.8. Анализ фундаментальных соотношений между температурой
и ее градиентом в точке идеального контакта составной системы
4.9. Об одной математической модели переноса тепла в почве . .
Глава V. О линейных уравнениях смешанного типа, моделирующих тепловые процессы, протекающие в режимах с обостре
5.1. Линеаризация нелинейного уравнения теплопроводности с нело
кальным условием Самарского.
5.2. Замыкающие соотношения для смешанного типа уравнений теплопроводности первого и второго рода
5.3. Критерии ограниченности функции Трикоми для уравнения ЛаврентьеваБицадзе в угловых точках области его задания
Заключение
Список литературы


Пусть решения и x, уравнений 0. Т их а, 6. Тогда необходимым и достаточным условием эквивалентности уравнений 0. В уравнении 0. Важным следствием теоремы 1. В 1. Здесь доказано, что если решение их, уравнения 0. Га i а , 0. МитгагЛеффлера. Когда время фрактальной релаксации т или произведение т x близки к компьютерному нулю, формулу 0. ОотГа 2i0, которая при 3 2а , а 1 принимает вид закона движения границы раздела а. Глава II посвящена качественным свойствам базовых дифференциальных уравнений математических моделей фрактальных процессов, краевым задачам для основных типов уравнений переноса. В 2. Это уравнение моделирует процесс распространения потока влаги в полубескоиечном теле в рамках гиперболического закона влагопереноса. Тот факт, что оно, будучи уравнением гиперболического типа при i 0, параболически вырождается при 0, говорит о том, что сильно пористые структуры имеют фрактальную природу. В разделе 2. Лыкова о нахождении решения уравнения 0. Теорема 2. Пусть их. Дарбу их2, ух 0, их, 0 тх для всех х Е 0, г. Тогда положительный максимум их, у на компакте 0 г г достигается только при у 0, 0хг и существует такой момент, времени т хтЦ, что их,у тхт. Объектом исследования раздела 2. Ьг0уи сги г, 0 а 1 0. П г 0 х , 0 у Т евклидовой плоскости точек 2 х,у. Решение иг их,у уравнения 0. Тк У у Ь 0. Принцип экстремума. Пусть а. Ьг, сг, г принадлежат, 7П и для всех г Е По, Ьг 0, Ь 4 сгуаТ1 а 0. Тогда регулярное в области П решение иг уравнения 0. Основной результат 2. В 2. Коши задача 2. Дирихле задача 2. X Хих vx 0 х Ь, 1 а 2, А . Основные результаты 2. Теорема 2. Пусть vx 6 С0, Ь. Тогда единственное решение их уравнения 0. Теорема 2. Пусть vx С0,6. Тогда видоизмененная задача Дирихле i х2аггя т, для уравнения 0. А6 ф 0. Теоремы 2. Фурье решения краевых задач для уравнения 0. В 2. Фурье решена смешанная задача для однородного и неоднородного фрактального волнового уравнения. Теорема 2. Пусть начальные функции тх и их представимы в виде ряда Фурье по синусам
ix i 2i7 их iппх. Тогда решение x, смешанной задачи задача 2. V зттгпж,
гсе v xX X 1, ж2. В 2. Раздел 2. Щу
где и их у, Ну функция Хевисайда которое выступает как эталонное при исследовании линейных математических моделей процесса переноса субстанции с бесконечной при у 0 и конечной при у 0 скоростями. Здесь в специальной прямоугольной области Г2 а, а у , О х а впервые исследованы на корректность три начальнокраевые задачи задачи , 2 и 5з, порожденные нелокальным условием вида известного краевого условия Самарского. Т, со 0 0. В параграфе 2. Теорема 2. Единственное решение и гга,3,7 задачи Кохии г0 3, и0 7 для уравнения 0. Т 0. Лемма 2. Для любого а 0 i , x x x и i. Теорема 2. Пусть а 2. В этом же параграфе предложены эффективный вычислительный алгоритм поиска нулей и графики функции i х проведен вычислительный эксперимент, подтверждающий теоретические результаты А. Псху о вещественных нулях функции ЕрХ 2. В 2. Грина фрактального оператора через 2. В 2. Рх, в точке х 0 удовлетворяет условию 0 при х 0, 1,2, то уравнение 0. Здесь же исследованы конструктивные свойства решений стационарного уравнения одномерной фильтрации x 0, предложенного Мсйлановым Р. П. Объект исследования последнего раздела 2. ЩУ Xv, 0 v 6, 0. X параметры, обеспечивающие монотонность давления и v как функции плотности и, а ,7 . Уух хЕауа 7 с параметрами а О, Л 0 и 7 1,2. В случае, когда коэффициент Пуассона 7 1. Л3 , реализован вычислительный эксперимент, подтверждающий существенное отличие обобщенных уравнений Пуассона от классического. В третьей главе рассматриваются модельные уравнения переноса в средах с фрактальной структурой и обобщенные законы КольраушаУильямсаУоттса. В разделе 3. Вр означает коэффициент диффузии, а числа а и Р2 фрактальные размерности в плоскости и в направлении диффузии. В параграфах 34 даются существенно новые обобщения закона КольраушаУильямсаУоттса сг сга ехр Ьта, 0 а 1, т, и предложен класс уравнений состояния вещества для тел, интерпретируемых как физические системы с фрактальной структурой.