Весовые параметрические алгоритмы статистического моделирования для решения нелинейных кинетических уравнений

• Автор: Коротченко, Мария Андреевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Оглавление
Введение

1. Элементы теории методов МонтеКарло для решения кинетических уравнений

1.1. Постановка задач

1.1.1. Интегральные уравнения 2го рода. Весовые оценки. . .

1.1.2. Модификации фазового пространства. Ценностное моделирование.

1.2. Математические модели многочастичных систем.

1.2.1. Пространственнооднородная релаксация простого однокомпонентного газа

1.2.2. Процесс пространственнооднородной коагуляции

1.3. Построение базовою интегрального уравнения

1.4. Численная оценка функционалов.

1.4.1. Весовые оценки для кинетических уравнений
1.4.2. Алгоритмы ценностною моделирования для кинетических уравнений
2. Весовые алгоритмы метода МонтеКарло для решения уравнения Больцмана
2.1. Тестовая задача для уравнения Больцмана.
2.2. Алгоритм моделирования для оценки решения задачи Коши
2.3. Весовые алгоритмы и параметрические оценки
2.3.1. Изучение зависимости решения от параметра начальною распределения в.
2.3.2. Исследование зависимости решения от параметра временного распределения ао
2.4. О выборе количества частиц
2.4.1. Коррелированное моделирование ансамблей частиц при различных .
2.5. Весовые модификации алгоритмов для оценки хвоста5 скоростного распределения
2.5.1. Весовое моделирование начального распределения скоростей
2.5.2. Алгоритм ценностного моделирования номера взаимодействующей пары.
2.5.3. Ценностное моделирование длины пробега
3. Весовые алгоритмы метода МонтеКарло для решения уравнения Смолуховского
3.1. Тестовые задачи для уравнения Смолуховского
3.2. Весовые оценки
3.3. Алгоритмы ценностного моделирования для задачи с постоянными коэффициентами коагуляции
3.3.1. Алгоритмы ценностного моделирования длины свободного пробега.
3.3.2. Алгоритмы ценностного моделирования номера пары взаимодействующих частиц.
3.4. Алгоритмы ценностного моделирования для задачи с линейными коэффициентами коагуляции
4. Численные результаты
4.1. Решение тестовых задач для кинетического уравнения Больцмана.
4.1.1. Использование глобального весового метода.
4.1.2. Изучение зависимости оценок от количества частиц в ансамбле .
4.1.3. Весовые оценки хвоста скоростного распределения . .
4.2. Решение тестовых задач для кинетического уравнения Смолуховского .
4.2.1. Ценностное моделирование для решения задачи коагуляции с постоянными коэффициентами.
4.2.2. Ценностное моделирование для решения задачи коагуляции с линейными коэффициентами
Заключение
Литература


Оценка величины (Т) при 0 ^ Т ^ весовым методом по параметру временнбго распределения ао. Оценка величины ~т^{Т) при 0 ^ Т ^ и 0 = 0. Оценка величины при 0 ^ Т ^ и а0 = 1. Оценка величины (Т) при 0 ^ Т < . Оценка величины г$(Т) при 0 ^ Т ^ . Оценка функционала У^(Т) с использованием ценностного моделирования номера пары и свободного пробега для уравнения Смолуховского с постоянными коэффициентами. Оценка функционала У^2т) с использованием ценностного моделирования номера пары и свободного пробега для уравнения Смолуховского с постоянными коэффициентами. Оценка функционала ,1)]2т) для уравнения Смолуховского с линейными коэффициентами. Методы статистического моделирования (методы Монте-Карло) — ото “численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик” []. Их применение для решения разнообразных задач и различных областях физики, математики и техники имеет богатую историю [9, , ]. В -х годах состоялись несколько первых симпозиумов по методам Монте-Карло, которые продемонстрировали широкие перспективы их применения. Хотя методы Монте-Карло были известны и до -х годов, тогда они не получили широкого распространения из-за больших объемов вычислений. Появление компьютеров сделало их практически применимыми и за последние лет вместе с развитием компьютерных технологий методы Монте-Карло всё более активно используются во многих научных исследованиях. Резко возросший в мире за последние два десятилетия интерес к исследованиям в области статистического моделирования обусловлен двумя основными причинами. Первая связана с тем, что методы Монте-Карло оказались удачно адаптируемыми к современной вычислительной технике с высоким уровнем распараллеливания. Вторая обусловлена новым уровнем описания задачи — статистический подход стал чрезвычайно часто использоваться уже на этапе постановки задачи и выбора модели. Это в полной мере относится и к задачам теории кинетических уравнений, которые описывают эволюцию функции распределения F(? V и пространству х в момент времени ? Это означает, что число частиц в элементе фазового объема (1у йх есть F(? В настоящей диссертации будут рассмотрены два кинетических уравнения в пространственно-однородном случае: уравнение Больцмана и уравнение Смолуховского. Уравнение Больцмана — интегро-дифференциальное уравнение, описывающее поведение разреженного газа, которое было выведено Людвигом Больцманом в году. Оно использовалось для обоснования молекулярно-кинетической теории, второго закона термодинамики о возрастании энтропии, выводе уравнений гидродинамики и до сих нор остается основой кинетической теории газов. В настоящей диссертации, ориентированной на разработку и тестирование новых численных алгоритмов, будет рассматриваться случай пространственно-однородной релаксации простою однокомпоиентного газа. В году Мариан Смолуховский, изучая процессы коагуляции коллоидных частиц, находящихся в состоянии броуновского блуждания, записал кинетическое уравнение коагуляции Смолуховского. По своей математической структуре это уравнение, подобно уравнению Больцмана, является интегро-дифференциальным эволюционным уравнением с квадратичной нелинейностью. Оно описывает широкий класс процессов коагуляции в физических системах; в настоящей диссертации будет рассматриваться пространственно-однородный случай чистого парного слипания частиц. Несмотря на то, что первые кинетические уравнения были записаны для специальных систем, область их приложений оказалась весьма обширной. Аналоги уравнений Больцмана и Смолуховского используются для изучения переноса излучения в веществе, фононов в сверхтекучих жидкостях, нейтронов в ядерном реакторе, электронов в твёрдых телах и плазме, при исследовании роста капель в облаках, дефектов в материалах реакторов на быстрых нейтронах, газовых пор в металлах и т. Математические задачи для уравнения Смолуховского аналогичны по своей сложности задачам для уравнения Больцмана, так как структура этих уравнений и способ их вывода очень близки.