Разработка комплекса программ для компьютерного исследования динамических систем

• Автор: Килин, Александр Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 294 с. : ил.

Введение

ЧАСТЬ 1. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ КОМПЬЮТЕРНАЯ ДИНАМИКА

Глава 1. Общее описание комплекса

1.1. Базовые инструменты.

1.2. Зависимые инструменты.

1.3. Фильтры и дополнительные окна.

Глава 2. Методы интегрирования.

2.4. Метод РунгеКутта четвертого порядка

2.5. Метод Мерсона четвертого порядка

2.6. Метод Эверхарта.

ЧАСТЬ II. НЕГОЛОНОМНАЯ МЕХАНИКА И ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Глава 3. Качение шара по поверхности. Новые интегралы и иерархия динамики
3.1. Введение
3.2. Уравнения движения шара по поверхности
3.3. Движение шара по поверхности вращения.
3.4. Качение шара по поверхностям второго порядка
3.5. Движение шара по цилиндрической поверхности.
Глава 4. Устойчивость стационарных вращений
в негол он омной задаче Рауса.
4.6. Уравнения движения шара по поверхности
4.7. Интегралы движения и мера.
4.8. Вертикальные вращения и их линейная устойчивость
4.9. Устойчивость по Ляпунову вращений в наинизшей точке
4 Устойчивость по Ляпунову вращений на вершине.
4 Численные результаты
4 Приложение.
Глава 5. Новые эффекты в динамике кельтских камней
5 Уравнения движения
5 Семейства перманентных вращений.
5 Устойчивость вертикальных вращений
5 Несуществование инвариантной меры
5 Различные типы динамических режимов.
5 Трехмерное отображение Пуанкаре и стохастическое свойства системы.
Глава 6. Динамика катящегося диска
6 Введение
6 Качение твердого тела по плоскости
6 Качественный анализ и результаты .
Глава 7. Абсолютные и относительные хореографии в динамике твердого тела
7 Введение
7 Рождение абсолютных хореографий.
7 Генеалогия хореографий
7 Более сложные хореографии.
7 Относительные хореографии.
7 Открытые проблемы.
Глава 8. Хаос в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой.
8 Введение
8 Переход к хаосу при с 0.
8 Случай с 0
8 Меандровые торы.
8 Приложение. Методы исследования отображений
ЧАСТЬ III. МНОГОЧАСТИЧНЫЕ СИСТЕМЫ И НЕБЕСНАЯ МЕ
ХАНИКА
Глава 9. Многочастичные системы. Алгебра интегралов и интегрируемые случаи.
9.1. Введение
9.2. Задача тел
9.3. Натуральная система с однородным потенциалом степени а
9.4. Задача тел с однородным потенциалом степени 2, зависящим от взаимных расстояний
9.5. Задача Якоби на прямой .
9.6. Задача Якоби на плоскости
9.7. Обобщение тождества Лагранжа и интеграла Якоби.
Глава . Задача двух тел на сфере. Приведение и качественный анализ
.8. Введение и исторические комментарии.
.9. Редукция задачи двух тел на сфере
Сечение Пуанкаре. Численный анализ .
ЧАСТЬ IV. ВИХРЕВАЯ ДИНАМИКА
Глава . Редукция и хаотическое поведение точечных вихрей на плоскости и сфере .
.1. Уравнения движения и первые интегралы системы вихрей на плоскости.
.2. Редукция на плоскости.
.3. Уравнения движения и первые интегралы системы вихрей на сфере 2 .
.4. Редукция на сфере.
.5. Явная редукция системы четырех вихрей на плоскости и сфере
.6. Сечение Пуанкаре для системы четырех вихрей на плоскости
и сфере.
.7. Переход к хаосу в задаче о четырех одинаковых вихрях на плоскости .
Глава . Абсолютные и относительные хореографии в задаче о движении точечных вихрей на плоскости.
.8. Понижение порядка для грех и четырех вихрей равной интенсивности.
.9. Абсолютное движение квадратуры и геометрическая интерпретация
.Аналитические хореографии.
. .Новое периодическое решение в задаче 4х вихрей.
0тносительные и абсолютные хореографии.
Устойчивость
Глава . Новая интегрируемая задача о движении точечных вихрей на сфере.
. Введение.
Уравнения движения и первые интегралы .
.Два антиподальных вихря
Три антиподальных вихря .
Заключение.
Литература


Для случая четырех вихрей понижение порядка выполняется до двух степеней свободы, и система уже не является интегрируемой. Для обоих случаев указаны гак называемые абсолютные и относительные хореографии. Хореографиями но аналогии с недавними работами в небесной механике мы называем такие периодические решения, когда все вихри движутся по одной и той же замкнутой кривой. В случае абсолютных хореографий данная кривая неподвижна, а в случае относительных вращается с некоторой постоянной угловой скоростью. Отметим, что поиск и изучение подобного рода частных решений в настоящее время выполняется исключительно компьютерными методами, глубоко связанными с теорией бифуркаций периодических решений. Результаты данной главы изложены в работах , и приведенного выше списка публикаций. Заключительная тринадцатая глава четвертой части посвящена исследованию новой модели точечных вихрей на сфере. Традиционно в литературе рассматривается модель вихря на сфере, состоящая из собственно самого точечного вихря и общей равномерной завихренности сферы. Такая модель считается более физичной, так как не приводит к появлению особенностей в точках, противоположных положениям вихрей. Равномерная завихренность сферы при этом приводит к уменьшению вращения жидкости по мере удаления от вихря. Однако в случае, когда на больших расстояниях вязкостью жидкости можно пренебречь идеальная жидкость, более верной становится модель вихря, в которой не вводится равномерная завихренность сферы. При этом функция тока обладает двумя особенностями в диаметрально противоположных точках сферы, и к каждому вихрю добавляется антиподальный вихрь с равной по величине и противоположной по знаку завихренностью. Интересно, что модель антиподальиого вихря может быть описана с помощью двух классических вихрей, расположенных в противоположных точках сферы. При этом взаимное положение вихря и его антипода сохраняется во время движения независимо от числа и интенсивностей таких пар. Другими словами, модель антиподальиых вихрей является инвариантным многообразием классической задачи точечных вихрей на сфере. В третьей главе третьей части последовательно изучается предложенная модель антиподальиых вихрей. Получены уравнения движения и первые интегралы. Проведена редукция на две степени свободы и проведен полный бифуркационный анализ задачи трех антиподальных вихрей. Результаты данной главы изложены в работах 4 и 8 приведенного выше списка публикаций. В заключении приводятся основные результаты диссертации. Результаты выносимые на защиту. Новый интеграл и случаи интегрируемости в задаче о качении шара без проскальзывания по поверхности второго порядка. Анализ устойчивости вращающегося шара на вершине параболоида в полной нелинейной постановке. Новые эффекты в динамике кельтских камней, являющиеся суперпозицией реверса смена на противоположное направление вращения и переворота смена на противоположную оси вращения. Полная классифиция траекторий движения однородного круглого диска при его качении без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Семейство периодических в абсолютном пространстве решений в классической задаче о движении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой. Анализ хаотизации фазового портрета в ограниченной задаче о вращении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Новые интегралы и соответствующие алгебры интегралов в ряде задач небесной механики. Редукция и доказательство неиитегрируемости задачи двух тел на сфере. Новый метод конструктивного понижения порядка для систем точечных вихрей на плоскости и сфере. Анализ процесса хаотизации фазового потока в задаче о движении четырех вихрей на плоскости. Семейство периодических в неподвижной системе координат решений в задаче о движении трех и четырех точечных вихрей на плоскости. Новая модель точечного вихря на сфере антиподалыюго вихря, представляющего собой систему вихрь антипод, имеющих равные по величине, но противоположные по знаку интенсивности. Полный бифуркационный анализ задачи о движении трех антиподальных вихрей.