Решения нелинейных параболических уравнений, развивающиеся в режиме с обострением

• Автор: Никольский, Илья Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Оглавление
Введение
Выступления

Публикации автора по теме диссертации

Благодарности

Г лава 1 Исследование автомодельных решений нелинейного уравнения

теплопроводности на плоскости.

1.1 Постановка задачи

1.2 Автомодельные решения

1.3 Радиальносимметричные решения.

1.3.1 Связь с решением линеаризованного уравнения

1.3.2 Свойства одномерных решений
1.3.3 Свойства цилиндрическисимметричных решений
1.4 Радиальнонесимметричные решения. Численные методы.
1.4.1 Разностные схемы.
1.4.2 Метод сшивания.
1.4.3 Методы мультипликации и последовательных растяжений
1.4.4 Метод продолжения по параметру.
1.5 Классификация СФ.
1.6 Сравнение множеств СФ при разных значениях о.
Глава 2 Устойчивость автомодельных решений
Введение.
2.1 Численные методы.
2.2 Структурная и метастабильная устойчивость автомодельных решений. Эволюция резонансных возбуждений.
2.3 Эволюция возмущенных автомодельных решений.
2.4 Эволюция финитных возмущений.
2.4.1 Эволюция усеченных СФ с отрезанным хвостом
2.4.2 Эволюция радиальносимметричных финитных распределений.
2.4.3 Эволюция радиальнонесимметричных решений
2.5 Формирование сложных структур
Глава 3 Уравнение с квадратичным источником
Введение.
3.1 Теоремы сравнения для нелинейных параболических уравнений
3.2 Задача Коши для уравнения с квадратичным источником
3.2.1 О затухающих решения.
3.2.2 Неограниченные решения. Применение теоремы сравнения.
3.2.3 Интегральное условие возникновения режима с обострением
3.3 Поиск частных решений уравнения с квадратичным источником
3.4 .Аналитическое исследование динамической системы.
3.4.1 Вспомогательное уравнение
3.4.2 Неограниченные и затухающие точные решения.
3.4.3 Асимптотический анализ динамической системы
3.5 Результаты расчетов
Основные результаты.
Литература


Но они могут обладать структурной устойчивостью в смысле выхода на автомодельный режим. При исследовании на структурную устойчивость к решениям применяется специальное преобразование - автомодельная обработка, предложенная в []. Она устроена таким образом, что любое обработанное автомодельное решение (автомодельное представление решения) является стационарным. Если обработанное решение является асимптотически устойчивым (в обычном смысле), то само решение называется структурно устойчивым. В результате исследований, проводившихся Е. С. Куркиной в одномерном и радиально-симметричном случае, было обнаружено два структурно устойчивых автомодельных решения -это структура с одним максимумом и структура в виде цилиндрического слоя (простая структура с "дыркой"). Область притяжения первой из них весьма велика, у второй она гораздо уже. Все сложные автомодельные решения являются лишь метастабильно устойчивыми. Это означает, что для каждого из них существует некоторое множество неограниченных решений уравнения (0. В течение некоторого времени (сравнимого со временем своего существования) решение из этого множества развивается по автомодельному закону, затем "сходит" с него. Пространственная структура сложных автомодельных решений сохраняется в течение некоторого отрезка времени, сравнимого со временем существования, у структурно устойчивых -все время существования. В этом смысле они являются выделенными среди всех неограниченных решения, так как произвольные сложные начальные распределения начинают персеграиваться сразу. Они либо распадаются в итоге на несколько простых структур, либо выходят на сложный автомодельный режим. При расчетах небольшая неточность в задании сложной СФ в качестве начального распределения существенно уменьшает время существования и приводит к быстрому распаду структуры. В связи с этим остро стоял вопрос о возможности приложения сложных СФ в реальных системах. Было важно показать, что они сами могут сформироваться на начальной стадии эволюции из достаточно произвольных начальных возмущений. Другими словами, существуют неограниченные решения уравнения (0. Процесс выхода на автомодельный режим с одним максимумом также представляет интерес. Здесь возникает вопрос об изменении формы различных финитных решений при их выходе на этот автомодельный режим. До сих пор было неизвестно, становятся ли они радиально-симметричными, если в начальный момент времени не обладали этим свойством. Эволюция решений, развивающихся в режиме с обострением, включает несколько этапов. В частности, обязательно присутствуют квазистационарная стадия (медленный рост решения) и стадия взрывного роста. На примере финитных неограниченных решений можно изучить редко рассматриваемое поведение, когда решение сначала понижается, его носитель увеличивается (растекание решения), потом происходит локализация (носитель перестает меняться) и лишь затем решение начинает расти. Мы ставили своей целью выяснить зависимость между формой начального возмущения и длительностью этих стадий. Отметим, что рассматриваемые режимы с обострением в уравнении (0. Однако во многих реальных задачах среда прогрета до некоторой положительной температуры. Такого рода исследования режимов весьма редки в литературе. Здесь требуется уточнение понятия локализации решений. В связи с этим в третьей главе предлагаемой работы рассматривается уравнение типа (0. Эти свойства достигаются за счет знакопеременности источника - он имеет вид квадратного трехчлена. Это уравнение может быть использовано при исследовании процесса возникновения вспышек в короне Солнца (см. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении обсуждается актуальность темы диссертации, кратко излагается ее содержание. В первой главе рассматриваются неограниченные двумерные автомодельные решения следующей начально-краевой задачи для уравнения (0. С(я2), и0(х)<М . Исследуется случай Д > и +1. I = -—¦ (0. М1 = (? ХГа<П^^=0, 1/|<-0<оо, (0. ЯгасЮ^О. О. (0. Задача (0. Применяется итерационный метод Ньютона.