Синтез оптимального управления в математических моделях химиотерапии опухоли, растущей по закону Гомперца и логистическому закону

• Автор: Чумерина, Екатерина Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 148 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Построение классических решений уравнения Гамильтона ЯкобиВеллмана для модельных задач синтеза оптимального

управления методом локальных решений

1.1 Постановка задачи. Уравнение ГамильтонаЯкоби Веллмана

1.2 Описание метода локальных решений

1.3 Модель 1 монотонная функция терапии

1.4 Модель 2 немонотонная функция терапии

1.4.1 Случай о 0

1.4.2 Случай ауО

2 Синтез оптимального управления

в математической модели химиотерапии
опухоли, растущей по закону Гомперца
2.1 Постановка задачи. Уравнение ГамильтонаЯкобиВеллмана
для случая ограничения на управление в виде 0 и С . . .
2.2 Монотонная функция терапии
2.3 Немонотонная функция терапии
2.4 Особое управление
2.5 Ограничение на суммарный ресурс управления
3 Синтез оптимального управления
в математической модели химиотерапии опухоли, растущей по обобщенному
логистическому закону
3.1 Постановка задачи. Уравнение ГамильтонаЯкобиВеллмана
3.2 Монотонная функция терапии.
3.3 Немонотонная функция терапии
Заключение
Литература


Рассматриваются два варианта функции терапии: монотонно возрастающая всюду при h > О, называемая далее монотонной, и возрастающая до некоторого значения h, а затем убывающая, обозначаемая как немонагонная. Первый случай означает, что увеличение количества химиотерапевтического средства приводит лишь к повышению эффективности терапии. Второй случай соответствует ситуации, когда действенность препарата уменьшается при достижении некоторой пороговой величины h. Время изменяется в пределах t 6 [О, Т], параметр 7 определяет эффективность принимаемой терапии, а — коэффициент диссипации, u{t) — неотрицательная функция из пространства Loo([0,T]) существенно ограниченных измеримых на [О, Т функций. Qs. Здесь величины Q, Qs и п > 1 заданы. J(u) = га2(Т) -» inf. Некоторые подходы взаимодействия теории оптимального управления с химиотерапией опухоли излагаются в [, |, где исследуются динамика раковых клеток х, а также управляющее воздействие u(t) на них противоопухолевым лекарством, которое предполагается постоянно доставляемым. Отметим, что не рассматривается уравнение динамики для лекарства. Ь ри2{т) dr. Оптимальные стратегии терапии неоднородной опухоли изучались в [, ]. Доказано, что оптимальная стратегия управления заключается в применении постоянного управления и = и° > 0, где и0 — максимально возможная концентрация лекарства, в случае модели, содержащей два типа клеток: подверженных терапии и не поддающихся терапевтическому воздействию, если рост клеток опухоли происходит по линейному закону (закон Мальтуса) и функция терапии f(h) также является линейной. При лечении опухолей возможно осуществлять непрерывный контроль за текущим состоянием больного, и, следовательно, в каждый момент времени t фазовый вектор (m(t),h(t)) может быть измерен с достаточно большой степенью точности. Более того, так как реакция на химиотерапевтическое средство может протекать но-разному, то стратегия терапии в каждый момент времени должна учитывать текущее состояние больного. Поэтому оптимальное управление в задаче (5) - (9) ищется в классе функций, зависящих от времени и фазовых координат и имеет вид и = u(m, h, ? С-управлснис (управление по принципу обратной связи или синтез управления), указывающее, какие управляющие воздействия должны выбираться в каждом из возможных положений системы. В диссертации впервые рассмотрена задача построения синтеза оптимального управления при одном из двух видов ограничений (7) или (8) и двух типах функции терапии. Поскольку задача состоит в нахождении синтеза управления, то в качестве основного метода решения был выбран метод динамического программирования, разработанный Р. Веллманом [5, б]. Он заключается в том, что конкретная задача с фиксированными значениями параметров погружается в семейство задач, в которых эти параметры представляют собой области. Затем выводятся соотношения, связывающие различные элементы этого семейства задач. Оптимальные значения минимизируемого функционала, вычисленные для каждого сочетания параметров, образуют функцию цены. При этом набор параметров должен быть достаточным, чтобы можно было сформулировать принцип оптимальности. Тогда функция цены является решением дифференциального уравнения в частных производных, называемого уравнением Гамильтона—Якоби—Веллмана (далее уравнение ГЯБ). Синтез управления находится как множество управлений, на котором достигается экстремум в этом уравнении. При этом трудности связаны с тем, что решать задачу Коши для уравнения ГЯБ нужно во всем фазовом пространстве переменных. В частности, при применении численных процедур отыскания решения неизвестна асимптотика этих решений, а ее поиск представляет самостоятельную и не менее трудную задачу [1]. Часто функция цены бывает не всюду гладкой, тогда используются различные понятия обобщенного решения уравнения Беллмана такие как, вязкостные решения, введенные М. Г. Крэндаллом и П. Л. Лионсом [], или минимаксные решения, определенные А. И. Субботиным [, ]. В диссертации построены классические решения уравнения ГЯБ для рассматриваемых задач. Классические решения уравнения ГЯБ удается найти лишь в ограниченном числе задач (например, линейно-квадратичная задача оптимального управления) [, 4].