Устойчивые явные разностные методы и многочлены Чебышева в задачах гидродинамики

• Автор: Ушаков, Константин Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 116 с. : ил.

1.1. Многочлены Чебышева и их свойства.

1.2. Явные разностные схемы и решение жстких задач математической физики

1.2.1. Формулировка явных методов

1.2.2. Общий анализ явных разностных методов с переменными шагами по времени.

1.2.3. Метод АдамсаБэшфорта.

1.2.4. Явные разностные схемы для мнимого спектра

1.3. Блочные чебышсвские итерационные методы.

1.3.1. Чебышевский набор параметров

1.3.2. Устойчивое упорядочивание итерационных параметров. .

1.3.3. Критерий окончания итераций.

1.3.4. Поиск улучшенного начального приближения методом Ритца.

1.4. Выводы по главе 1.
Глава 2. Вихреразрешающая модель, разностные аппроксимации и численные эксперименты.
2.1. Описание модели.
2.2. Разностная аппроксимация уравнений модели.
2.2.1. Вихревая форма записи адвективных слагаемых.
2.3. Программная реализация модели.
2.3.1. Задание расчетной области с помощью логических масок. .
2.3.2. Исследование операторов Сп.1Эа и Т
2.3.3. Внедрение программы БиМКА.
2.3.4. Распараллеливание.
2.4. Численные эксперименты.
2.5. Выводы по главе 2
Глава 3. Чебышевские цифровые фильтры
3.1. Явный чебышевский фильтр
3.2. Алгоритм неявной чебышевской операторной фильтрации. . .
3.3. Особенности численной реализации неявного чебышевского фильтра.
3.4. О сравнении фильтров.
3.5. Выводы по главе
Заключение
Введение


Она позволяет исключить существенную часть нелинейных слагаемых из проблем построения аппроксимации и турбулентного замыкания. Цель диссертационной работы состоит в исследовании эффективности и оптимизации применения устойчивых явных разностных схем программы , методов с функциями перехода, основанными на чебышевских многочленах, и вихревой формы ГромекиЛэмба в задачах гидродинамики. Диссертация состоит из введения, трх глав, заключения и списка литературы, включающего наименования. Работа выполнена в Институте вычислительной математики РАЫ. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю В. И. Лебедеву за пощержку и постоянное внимание при выполнении работы, А. В. Глазунову за продолжительные консультации по вопросам вихреразрешающего моделирования и признателен Т. И. Шитовой, I. М. Нечепуренко и Ибраеву за полезные советы по оформлению диссертации, а также сотрудникам ИВМ РАЫ за помощь в период выполнения работы. Глава 1 диссертации посвящена теоретическому исследованию проблем оптимизации многочленов перехода в свете решения задач гидродинамики. Для составления основы рассматриваемых методов вначале приведены базовые сведения о многочленах Чебышева, касающиеся возможных вариантов определения, формул для корней, точек экстремума и композиции многочленов, формулировки экстремальных теорем Чебышева и Маркова. Для задач, приводящихся линеаризацией и отбрасыванием свободного члена в правой части к виду 1 со спектром, лежащим на или тесно вблизи мнимой оси например, расчтов течений с большими числами Рейнольдса , , , в серии работ 4, , , , , предложено использовать явные разностные схемы 7 и 8. Этим схемам соответствует многочлен перехода 4й степени, аппроксимирующий экспоненциальную переходную функцию решения дифференциальной задачи с 5м порядком точности. Его корни комплексно сопряжены,
, о
РнАщ. В диссертации приведн анализ области устойчивости этих схем из указанной серии работ. Согласно , соответствующий многочлен перехода обладает наибольшим для своей степени отрезком области устойчивости на мнимой оси при фиксированной сумме временных шагов, а в показано, что при увеличении степени многочлена перехода для задач с наличием мнимого спектра увеличение среднего шага ограничено. Поэтому для задач с большими числами Рейнольдса оправдано применение схем 7 и 8, реализованных в свободно доступной программе . Следует отметить также, что, согласно , возможно применение и схемы б , 4, но в этом случае требуются дополнительные данные о спектре для настройки со параметров. Модель 7 использует для интегрирования по времени схему АдамсаБэшфорта, описанную, например, в . Для этой схемы в диссертационной работе проведн аналогичный анализ, показывающий, что е область устойчивости касается мнимой оси в нуле. При этом приближнное решение идг, соответствующее мнимым собственным значениям Л оператора А, может. А, как 1 АгА. Показано также, что в случае наличия действительного спектра использование схемы АдамсаБэшфорта может приводить к возникновению в решении двухшагового шума. На основании этих результатов можно сделать вывод о нежелательности применения этой схемы напрямую для интегрирования по времени в моделях турбулентности. Также в первой главе исследуется блочный чебышевский итерационный метод решения уравнения Пуассона для давления. Изменение ошибки за цикл из АГ итераций описывается многочленом перехода Рдг для второго блока неизвестных, так что
Р0 Па , е Р1Т4 Т 4
Для применяемой в модели дискретной записи уравнения Пуассона в диссертации доказано с использованием результатов работы , что оператор I Т обладает базисом из собственных векторов и его спектр лежит на некотором отрезке действительной оси , 1, 0. Пусть с помощью дополнительных данных получена оценка спектра 8р Т т, М например, тп , М 1. Тогда в качестве Рдг возьмм нормированный в соответствии с первым равенством 4 многочлен Чебышева 1го рода, приведнный к отрезку тп, М. Этот многочлен наименее отклоняется от нуля на данном отрезке, обеспечивая таким образом наилучшее среди многочленов вида 4 подавление ошибки.