Численное и геометрическое исследование динамики некоторых колебательных моделей

• Автор: Мартынова, Ирина Сергеевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Численные и геометрические методы исследования динамики тела, поддерживаемого пружиной с нелинейной жесткостью, при периодическом внешнем воздействии

1.1 Предварительные сведения

1.2 Геометрический метод нахождения устойчивых периодических колебаний малой амплитуды в случае гладкой восстанавливающей силы
1.3 Построение аттракторов и геометрический метод нахождения периодических колебаний произвольной амплитуды

в случае негладкой восстанавливающей силы.

2 Динамика математической модели мелкой лагуны

2.1 Описание метода.

2.2 Геометрическое исследование модели без учета влияния климата

2.3 Геометрический метод исследования колебаний математической модели лагуны при периодическом изменении климата
3 Методы локализации начального условия периодических колебаний неавтономных моделей
3.1 Построение сектора, содержащего искомое начальное условие
3.2 Численный метод нахождения инвариантной кривой отображения Пуанкаре.
Список литературы


Данное явление связано с существованием в порождающей системе заполняющего все пространство семейства периодических решений, в результате чего принцип линеаризации Пуанкаре не может быть применен и заданный колебательный процесс х0 может быть, вообще говоря, разрушен при увеличении значения параметра, вызвав резонансные колебания, амплитуда которых значительно отличается от амплитуды ж0. Со времен работ Ван дер Поля разработаны мощные (резонансные) методы, позволяющие во многих случаях оценивать амплитуду резонансных колебаний. Первые строгие классические результаты на эту тему принадлежат П. Фату [], Л. Н.Д. Папалекси [], Н. М. Крылову-Н. Н. Боголюбову |6], которые являются следствием классической второй теоремы Н. Н. Боголюбова []. H.H. Воголюбов-Ю. А. Митропольский [7], с. Ах с начальным условием х(0) = г», которое предполагается У-периодичсским при любом V. Классические приложения второй теоремы Боголюбова в радиотехнике, например, вычисление амплитуды резонансных колебаний в регенеративном приемнике, включены также во многие учебники по нелинейным колебаниям (см. И.Г. Рис. Периодически возмущенный механический осциллятор с нелинейной восстанавливающей силой и вязким трением. Малкин [], A. A. Андронов-А. А. Витт-С. Э. Хайкин [1]). Однако, и последнее время значительный интерес приобретают приложения второй теоремы Боголюбова в механике, в том числе негладкой. В наиболее общей постановке расчетная схема таких задач построена на рисунке 1. Здесь тело массы гп поддерживается нелинейными пружинами, зависимость жесткости к(и) которой от растяжения и описывается законом и к(и), коэффициент вязкого трения обозначен через с>0и7>0-это амплитуда внешнего гармонического воздействия, являющаяся причиной резонансов. Если к(и) = кои, где ко > 0, то данная модель представляет собой возмущенный гармонический осциллятор и широко исследована в литературе (см. И.Г. Малкина []). Значительно больший практический интерес представляет случай, когда функция и »-> к(и) - нелинейна, тем более технологии производства таких пружин недавно начали разработываться (см. Wieslaw Julian Oledzki []). L 4- k(u) = 7 cos ut. Icqu -f kv? А.Н. КауГеИ, Е). Т. Моок []) получаем уравнение типа Ван дер Поля-Дуффинга, которое может быть преобразовано к системе (0. При а ф 0 соответствующий оператор усреднения имеет простые нули и возникновение и амплитуду резонансных колебаний позволяет изучить вторая теорема Боголюбова (см. И.Г. Малкина []), в то время как только вырожденные нули имеют место при а = 0. Случай, когда функция усреднения имеет вырожденные нули был рассмотрен А. П. Проскуряковым [], [], получившим первые результаты об асимптотической устойчивости периодических колебаний, которые, однако, требуют вычисления неявно определенных функций и являются трудно проверяемыми практически. О}, (0. Б.И. Крюков []), некоторых элементов коробки передач автомобилей (см. A. Kahraman []), подвесных мостов (см. Л. Glovcr-A. C. Lazcr-P. J. McKenna []), ударно-вибрационной дробилки (C. B. Казаков []) и целого ряда других механических систем с упругими ограничителями (см. LA-3 лаборатории Los Alamos [|). Вводя малый параметр е > 0 аналогичным образом, получаем оператор усреднения, нули которого образуют целый отрезок и. Ь. 7 = є2^. Геометрические аналоги принципа усреднения, не требующие невырожденности нулей бифуркационной функции и основанные на теории топологической степени, предложены в работах Ж. Мавена [) и М. И. Каменского []. Однако, применение этих аналогов при моделировании динамики осциллятора рис. В отличие от рассмотренных локальных методов, когда порождающее решение или семейство решений известно или может быть найдено, методы исследования периодических колебаний в математических моделях с малым параметром дают меньшую информацию о колебаниях в случае, когда всего лишь известно поведение системы на границе некоторого множества и. Для автономных систем х = }{х) в М2 основной результат восходит к Л. Пуанкаре, установившему, что если индекс Пуанкаре границы множества и по отношению к нолю V /(у) отличен от 0, то внутри и имеется по крайней мере одно состояние равновесия рассматриваемой системы. М.А. Красносельского - А. И. Перова []: если в течение (0,Т] решения системы (0.