Численные методы построения обобщенно-периодических решений дифференциальных уравнений при моделировании динамических процессов

• Автор: Пчелинцев, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Тамбов
• Количество страниц: 114 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Модель свободной конвекции в плоском слое жидкости и численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

1 Задача о свободной конвекции в плоском слое жидкости . .

2 Модель Лоренца

3 Классификация периодических и близких к ним решений систем дифференциальных уравнений

4 Численные методы построения решений обыкновенных дифференциальных уравнений .

5 Постановка задачи исследования

2 Обобщеннопериодические решения дифференциальных уравнений

1 Обобщеннопериодические решения автономных и неавтономных систем дифференциальных уравнений.

2 Устойчивость по Пуассону в динамических и непрерывных

периодических системах
3 Символьные вычисления в распределенной компьютерной
среде.
4 Построение обобщеннопериодических решений систем дифференциальных уравнений .
3 Некоторые приложения
1 Система Лоренца
2 Динамическая система типа Маркова.
Заключение
Литература


Предложенные алгоритмы и комплекс программ позволяют получить приближенные обобщенно-периодические решения нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с заданной точностью, а также построить проекции дуг их траекторий и найти ноля температур и скоростей для плоского слоя жидкости. Апробация работы. Основные результаты докладывались на международных конференциях «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики» ( г. Актуальные проблемы информатики и информационных технологий» ( г. ТГТУ «Фундаментальные и прикладные исследования, инновационные технологии, профессиональное образование» ( г. Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 печатных работ, из которых 2 в издании, рекомендуемом ВАК. ЭВМ. Структура и объем работы. Материал диссертации изложен на 8 страницах машинописного текста. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержит рисунка и 2 таблицы. Список литературы состоит из наименований. Чтобы проиллюстрировать на конкретном примере - системе Лоренца - алгоритмы и численные методы, описанные во второй и третьей главах, рассмотрим модель динамики реальной системы, приводящей к системе Лоренца. Эго задача о свободной конвекции в слое жидкости. Первый параграф данной главы посвящен постановке задачи о конвекции в плоском слое жидкости. Впервые такая задача возникла при описании процессов, происходящих в атмосфере, и была опубликована в работе [1] Э. Лоренца. В приближении она может быть сведена к исследованию нелинейной системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений, называемой системой (или моделью) Лоренца. Оказалось, что эта система описывает не только свободную конвекцию в слое жидкости, но и является моделью одномодевого лазера. Во втором параграфе описывается вывод системы Лоренца из исходной постановки задачи с использованием метода Бубнова-Галерк и на. Прогноз погоды составляется на основе данных о состоянии атмосферы к определенному моменту времени []. На их основе с помощью компьютера получают краткосрочный прогноз, который не полностью отражает реальные данные, а он, в свою очередь, используется для составления среднесрочного прогноза - еще менее точного. Ошибки традиционных численных методов, используемых для расчета прогноза, очень часто перерастают в принципиальные из-за неустойчивости движения воздушных потоков []. В году Э. Согласно этой модели самые незначительные изменения как исходных, так и промежуточных данных, получаемых в расчете, могут через некоторое время приводить к значительным ошибкам при составлении прогноза погоды. В динамике жидкостей перенос массы движущимся потоком и молекулярной диффузией описывается нелинейным дифференциальным уравнением Навье-Стокса, которое определяет связь между скоростью, давлением, плотностью и вязкостью жидкости. Три уравнения Лоренца, полученные из системы уравнений Навье-Стокса, неразрывности и переноса тепла, описывают такое явление, как естественная конвекция в подогреваемом снизу слое жидкости. Динамическая модель одномодового лазера (процесс накачки, то есть когда атомы переходят с нижнего энергетического уровня на верхний), включающая в себя систему Лоренца, записанную в безразмерном виде [,]. Заметим, что значительные систематические ошибки численных методов, применяемых для отыскания решений системы Лоренца, вследствие неустойчивости могут привести к результату, который не соответствует физике процесса. Численный метод, используемый в третьей главе для построения решений системы Лоренца, позволяет снизить систематическую ошибку и объем вычислений. Обратимся теперь к постановке задачи о конвекции в плоском снизу слое жидкости, ведущей к модели Лоренца. Рассмотрим горизонтальный слой несжимаемой жидкости высоты /? Пусть на верхней границе поддерживается постоянная температура 7Ь, а на нижней границе - температура То -I-1 где Т = const - положительная величина (рис. Рис. Конфигурация течения, возникающего при свободной конвекции в плоском слое жидкости. Изменение этих полей во времени описывается системой уравнений в частных производных (см.