Математическое моделирование и оптимизация формы термоупругих тел

• Автор: Павлов, Сергей Петрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 381 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

ГЛАВА 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Задачи теории термоупругости

1.1.1. Основные уравнения термоупругости

1.1.2. Классическая постановка задачи термоупругости

1.2. Строгая постановка задачи тсрмопругости

1.2.1. Абстрактная задача.

1.2.2. Возмущение краевых условий.

1.2.3. Задачи второго порядка и уравнение теплопроводности

1.2.4. Теория температурного напряжения.

1.3. Дифференциальная геометрия
1.3.1. Непрерыышя трансформация области.
1.3.2. Трансформация поверхности
1.4. Критерии оптимизации в задачах термоупругости
1.4.1. Статические и квазистатические задачи термоупругости
1.4.2. Обобщение функционалов цели, постановка экстремальных задач.
1.5. Методы поиска оптимальной границы
1.5.1. Основные определения.
1.5.2. Непрерывный градиентный метод
1.5.3. Задачи с ограничениями
ГЛАВА 2. ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ I.
2.1. Чувствительность интегральных функционалов по отношению к изменению формы области
2.1.1. Первая производная объемных и поверхностных интегралов
2.1.2. Первая производная поверхностного интеграла от потока векторного поля ПО
2.1.3. Первая производная криволинейного интеграла
2.1.4. Производная от потока плоского векторного поля через подвижный плоский контур
2.2. Дифференцирование функционалов определенных внутри и на границе области
2.2.1. Дифференцирование функционалов определенных внутри области
2.2.2. Производная объмного функционала при наличии поверхности разрыва внутри области
2.2.3. Первая производная суммы объмного и поверхностного функционалов
2.3. Производные функционалов для термоупругих теп
2.3.1. Производная функционала полной энергии для внешней подвижной границы при неизменном температурном поле.
2.3.2. Чувствительность функционала полной энергии при трансформации внутренней границы
2.3.3. Производная функционала для внешней подвижной границы с учтом изменяемости температурного поля.
2.4. Анализ чувствительности функционалов общего вида для задачи термоупругости
2.4.1. Метод сопряженных переменных в анализе чувствительности функционалов термоупругости общего вида.
2.4.2. Сопряженная задача. сл
2.4.3. Задача в перемещениях и температурах.
ГЛАВА 3. ОПТИМИЗАЦИЯ ФОРМЫ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
3.2. Оптимизация участков размещения и толщины термоизоляции плоской области.
3.1.1. Постановка прямой задачи и задачи оптимизации
3.1.2. Существование оптимального решения.
3.1.3. Чувствительность функционалов к изменению распределения толщины термоизоляции и положению точек сопряжения граничных условий
3.1.4. Оптимизация термоизоляции плоских одно и двусвязных областей
3.2. Оптимизация внешней границы плоской двусвязной области
3.2.1. Постановка прямой задачи и задачи оптимизации
3.2.2. Чувствительность функционалов к изменению границы Г
и положения точек ауЬ,с.
3.2.3. Существование оптимальных решений в задачах управления формой границы и точками сопряжения граничных условий
3.2.4. Численные результаты.
3.2.5. Математическая модель оптимизации формы теплоприемника
в замкнутом теплообменнике
ГЛАВА 4. ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СКРУЧИВАЕМЫХ СТЕРЖНЕЙ С ПРОДОЛЬНЫМИ ПОЛОСТЯМИ
4.1. Жесткость на кручение стержня при начальных температурных напряжениях
4.1.1. Постановка прямой задачи кручения стержня с начальными напряжениями
4.1.2. Температурные начсшъные напряжения.
4.2. Оптимизация эффективной крутильной жесткости нагреваемого стержня
4.2.1. Формулировка задачи оптимизации
4.2.2. Чувствительность функционалов жесткости кручения и ограничений к изменению формы области.
4.3. Алгоритм оптимизации
4.3.1. Метод граничных элементов для уравнения Лапласа.
4.3.2. Метод граничных элементов для решения прямых и сопряженных задач
4.3.3. Вычисление функционалов чувствительности
4.3.4. Численные результаты
ГЛАВА 5. ПЛОСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОСТИ
5.1. Постановка задач оптимизации
5.1.1. Плоская деформация и плоское напряженное состояние
5.1.2. Плоская температурная задача
5.1.3. Обобщенное плоское напряженное состояние
5.1.4. Оптимизация напряженного состояния тонких пластин.
5.2. .Примеры численного решения задач оптимизации формы в плоских задачах термоупругости
5.2.1. Метод граничных элементов для плоской задачи термоупругости
5.2.2. Численная реализация
5.2.3. Тестирование программ МГЭ и оптимизации для плоской задачи термоупругости.
5.3 Численные результаты
5.3.1. Оптимизация внешней границы консоли по критерию жесткости
5.3.2. Оптимизация внешней границы цапфы по критерию прочности . .
5.3.3. Оптимизация внутренней границы полости по критерию прочности
Заключение
Литература


Даются вариационные формулировки статической задачи тсрмоупругости и приводится строгая формулировка этих задач в соответствующих пространствах. Во второй главе на основании полученных результатов выводятся соотношения чувствительности, то есть зависимости исследуемых функционалов от изменения формы тела проектной переменной, для различного вида функционалов. В третьей главе полученные результаты применяются для оптимизации термоизоляции плоской области, когда отыскивается не только оптимальное распределение толщины теплоизолирующего слоя, но и граница его расположения. В четвертой главе рассмотрены задачи оптимизации формы стержней с начальными температурными напряжениями по критерию максимума крутильной жесткости. В пятой главе результаты, полученные во второй главе, применяются для решения конкретных задач оптимизации формы областей для двух типичных плоских статических задач термоупругости о плоской деформации и плоском напряженном состоянии. В заключении содержатся результаты, полученные в диссертационной работе и ставится ряд задач для дальнейшего исследования. ГЛАВА 1. В данной главе приводятся основные уравнения механики и термодинамики необратимых процессов для деформируемого анизотропного тела, находящегося под действием температурных полей. В ней излагаются основные положения теории термоупругости, включающей теплопроводность, тепловые напряжения, вызванные градиентами температуры, и термомеханические эффекты, обусловленные процессом деформирования. Даются вариационные формулировки статической задачи термоупругости, которые существенно используются в дальнейшем. Рассмотрим анизотропное деформируемое твердое тело, находящееся в естественном состоянии, то есть когда на тело не действуют внешние силы, температура тела постоянна и равна Т0, перемещения, деформации и напряжения равны нулю. Пусть тело 2 ограниченная в общем случае многосвязная область с границей Г в трехмерном пространстве 3. Мл Ц 1. Напряженное состояние тела описывается симметричным тензором напряжений а. Для вывода уравнений состояния, устанавливающих связь между напряжениями, деформациями и температурой, рассмотрим взаимодействие тела как термодинамической системы с окружающей средой. При механических и других воздействиях в упругом теле возникают перемещения и1, деформации б1, напряжения ту и температурное поле Т. Между телом и окружающей средой происходит обмен энергией за счет выполнения работы действующих нагрузок и передачи тепла. Р поверхностных сил. Тогда с учетом 1. О . КиаЬ0, 1. Используя 1. Ю . Преобразуем последний поверхностный интеграл в объемный интеграл. I г
0
т т
1. На основании неравенства Клаузиуса Дюгема получаем из 1. Т чч од,у0. Для установления соотношений между напряжениями, деформациями и температурой необходимо выразить плотность свободной энергии как функцию компонентов тензора деформаций еу и температуры Г. Из 1. ТТя. Используя теперь 1. Для выполнения неравенства 1. Т необходимо, чтобы
дц
де
Предположим, что приращение температуры Т Т0 является таким, при котором тепловые деформации имеют величину одного порядка малости по сравнению с ч. Из 1. Г У0,Г 1 0 ,Г 1. Г . У0,Г 1. Ч0,Т с1тс1Т. Г . МЫ 1. При ту 0 при свободном тепловом расширении из 1. М0,Т г 1. М0т гйЛ 1. Теперь из 1. Входящий в 1. I представляет собой тензор упругих характеристик материла для анизотропного тела. Подставляя величины 1. Г 4 I Т Из инвариантности свободной энергии и энтропии относительно выбора системы координат легко теперь получить формулы преобразования тензоров
В изотропном случае СС i7 . Т0,
с1А1 и р при переходе к другой системе координат. Из неравенства 1. Х положительно определенный симметричный тензор. Далее, из 1. ЛЧо Г ТУг9е
гДд. Использование термодинамической функции Гиббса, определяемой согласно 1. Для функции и энтропии имеем следующие соотношения . У9 . Из второго равенства 1. С7. Ъ
та. Вместо этих теплоемкостей можно рассматривать удельную теплоемкость при постоянном тензоре напряжений са0 и постоянном тензоре деформации се соответственно. Аналогично и дляся с,, сж0. Для этого случая из 1.