Математические модели неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой

• Автор: Бейбалаев, Ветлугин Джабраилович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Таганрог
• Количество страниц: 132 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

ГЛАВА I. Концепция фрактала. Интегралы и производные

дробного порядка

1.1 Математическое определение фрактала.

1.2 Интегралы и производные дробного порядка.

1.3 Физическая интерпретация фрактала

1.4 Математические и физические аспекты концепции фрактала.

ГЛАВА II Математическая модель фрактального

осциллятора.

2.1 Линейный гармонический осциллятор

2.2 Фрактальный осциллятор.
2.3 Фрактальный осциллятор с вынуждающей силой.
2.4 Фрактальный осциллятор с затуханием
ГЛАВА III. Математические модели процессов переноса в средах фрактальной структурой
3.1 Моделирование переноса тепла в средах с фрактальной
структурой
3.1.1 .Обобщенная задача теплопереноса на бесконечной прямой.
3.1.2.0бобщенная задача теплопереноса в случае ограниченной
области
3.1.3. Обобщенная задача теплопереноса на полупрямой.
3.2. Численные методы решения краевой задачи для уравнения переноса в
средах с фрактальной структурой.
3.2.1. Краевая задача для уравнения переноса с производной
Дробного порядка.
3.2.2. Краевая задача для уравнения переноса с двусторонней
производной дробного порядка
3.3. Фильтрация в средах с фрактальной структурой
3.4. Математическая модель кинетикисорбции в средах
с фрактальной структурой.
3.5. Обобщенное уравнение ФоккераПланка.
ГЛАВА IV. Вычислительный эксперимент по анализу моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой
4.1. Численные расчеты задачи фрактального осциллятора с вынуждающей
4.2.Численные расчеты математической модели теплонереноса с учетом
нелокальности повремени
4.3. Численные расчеты математической модели теплопереноса с учетом
нелокальности по пространству.
4.4. Численные расчеты математической модели теплопереноса в полуограниченной фрактальной среде с учетом нелокальности по времени
Заключение
Литература


В связи с проникновением идей фрактальной геометрии в современную науку предпринимаются активные попытки внедрения зависимостей с дробной размерностью для описания различных физико-химических процессов [, ]. В ряде работ [,] показано, что в ветвящихся фрактальных структурах могут реализовываться сверхмедленные процессы переноса. Вместе с тем оказалось, что процессы, происходящие во фрактальных средах, можно моделировать с помощью дифференциальных уравнений, содержащие дробные производные вместо обычных производных целого порядка. В [,] показано, что ряд физико-химических систем, которые могут быть описаны уравнениями в дробных производных, должны содержать в себе каналы, входящие в состав ветвящейся фрактальной структуры. Такими системами могут быть процессы теплопсреноса и массопереноса в перколяционных кластерах, фрактальных и пористых средах. Причем [,,] получено, что показатель дробной производной по времени соответствует доли каналов (ветвей), открытых для протекания. В [] показано, что аномальная диффузия (диффузия Леви) имеет фрактальную природу, и получена взаимосвязь порядка дробной производной с показателями масштабного преобразования времени и Херста. Несмотря на долгую историю развития математического аппарата дробного дифференцирования, аналитические методы решения уравнений дробной диффузии оказываются малоэффективными, а теория численных методов их решения носит фрагментарный характер и далека от завершения. Нахушева А. М. [], Кисилева В. П.[], В. М. Головизнина В. М.[], Короткина И. А.[], СИаВеБ Тафегап [], ЬупсЬ У. Е. []. Разработке численных методов решения дифференциальных уравнений дробного порядка посвящены работы [], [-]. Особое место в проблеме создания адекватных количественных моделей занимает современные информационные технологии. Особенность современных информационных технологий, заключающихся в единой технической базе для передачи информации различной природы. Аудио, видео анимации, телефония, передача данных привело к созданию нового класса интегрированных сетевых приложений. Такими являются: видеоконференции, интернет-телефония, анимации в реальном времени, распознавание голоса, распределенные вычисления, интерактивная графика, виртуальная реальность и др. Все это привело к тому, что для процессов передачи, обработки и хранения информации в современных высокоскоростных сетях с пакетной коммутацией характерно стохастичность сложной природы. Одним из важнейших свойств, характерных для современных сетевых процессов, становится обнаруженное на практике свойство самоподобия или масштабной инвариантности статистических характеристик. Такие свойства составляют основу особого класса физических процессов - фрактальных процессов. Кроме того, для сетевых процессов также характерно свойство самоорганизации. Использование аналитических методов концепции фрактала в информационных технологиях начаты в работах Нахушева А. М.[], Забаровского В. С.[], Городецкого А. Я. []. В настоящее время аналитические методы концепции фрактала находят все более широкое применение практически во всех направлениях не только естественно научных направлений, но и гуманитарных. Обнаруживаются все больше систем с фрактальными свойствами. Причем область применимости концепции фрактала непрерывно расширяется. С этой точки зрения процессы в высокоскоростных вычислительных сетях представляет пример системы, где задача прогнозирования одна из актуальных. Здесь принципиально важно и то, что современные информационные технологии как открытые системы помимо всего прочего одновременно представляют собой «экспериментальную установку» для исследования проблем детерминированного хаоса и прогноза. Число монографий, посвященных развитию концепции фрактала и их приложений практически во всех областях естествознания, непрерывно растет [,,,,,] . Цель диссертационной работы. Развитие нового подхода на основе математического аппарата интегродифференцирования дробного порядка для создания адекватных математических моделей неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой.