Математические модели случайных процессов, основанные на масштабных смесях нормальных законов

• Автор: Бородулина, Елена Леонидовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Пермь
• Количество страниц: 139 с.

1. Вероятностностатистические модели

1.1. Предварительные сведения.

1.1.1. Пространство элементарных событий. Случайная величина

1.1.2. Смеси вероятностных распределений.

1.1.3. Специальные функции и интегралы специального вида.

1.2. Некоторые математические модели в задачах обработки измерений .

1.3. Некоторые классы распределений, применяемых в описательной статистике.

1.3.1. Семейство устойчивых законов

1.3.2. Семейство распределений Стыодента.

1.4. Критерии согласия о типе предельного распределения случайных процессов

1.4.1. Общая схема построения статистических решений.

1.4.2. Асимптотический подход к оцениванию необходимого объема выборки
2. Смешанные гауссовские вероятностные модели
2.1. Постановка задачи нахождения асимптотического распределения случайных сумм.
2.2. Метод расщепления строго устойчивых смесей стандартных нормальных законов.
2.3. Распределение инварианта сопряженного псевдосмесителя строго устойчивой смеси при а 1.
2.4. Распределение инварианта сопряженого псевдосмесителя строго устойчивой смеси при а 0.
2.5. Определение необходимого объема выборки для обеспечения достаточной мощности критерия согласия.
2.5.1. Использование критерия НейманаПирсона для обеспечения необходимой мощности.
2.5.2. Асимптотический подход к определению необходимого объема выборки
2.6. Масштабная смесь для случая распределения Стьюдента
3. Выбор адекватной математической модели реальных процессов
3.1. Численная реализация задачи выбора аналитической модели
3.2. Оценка влияния случайных структурных неоднородностей материала изделия на определение геометрических параметров поверхностных дефектов методами магнитной дефектоскопии.
Заключение
Введение


Однако, учитывая, что альтернативный способ построения оценок, предложенный в диссертации, требует сравнимый с объем выборки, а оценки Фама Е. Ролла Р. Показано, что переход к вспомогательной случайной величине увеличивает меру расстояния между альтернативными моделями вероятностных распределений, что позволяет уменьшать ошибку второго рода при построении статистических решений. Коротко о содержании диссертации. Во введении обоснована актуальность исследования, сформулирована научная новизна, приведены цель и задачи исследования, перечислены наиболее существенные результаты, дана общая характеристика работы. Глава 1 посвящена обзору предварительных сведений из теории вероятностей и математической статистики, рассматриваются вероятностные модели, использующиеся в задачах обработки измерений, и свойства альтернативных нормальному закону вероятностных семейств. Глава 2 содержит постановку задачи нахождения типа предельного распределения случайных сумм и описание метода расщепления масштабных смесей нормальных законов. Для оценки параметров строго устойчивой модели получено обобщение плотности распределения инварианта для всей области допустимых значений показателя устойчивости. Для частных случаев, соответствующих распределениям Коши и Леви, получены выражения плотностей инвариантов в аналитическом виде. Найдены необходимые объемы выборок при использовании стандартных критериев согласия в задаче выбора аналитической модели. Отдельно исследована структура масштабной смеси для семейства Стыодента, и установлено соответствие между смешивающим распределением и распределением смеси. Получено аналитическое выражение плотности распределения псевдосмесителя для смеси, имеющей распределение Стьюдента. Стыодента. Показано, что переход от исходной выборки к выборке псевдосмесителей увеличивает меру расстояния между альтернативными моделями вероятностных распределений. Построена вероятностная модель случайной компоненты регистрации магнитного поля рассеяния применительно к задаче оценки наличия поверхностных дефектов изделия методами магнитной дефектоскопии на основе аппарата случайных сумм. Рассмотрено применение предложенного в работе метода выбора аналитической модели применительно к задаче определения доверительных границ случайной компоненты регистрируемой величины, свидетельствующих о допустимости дефекта. Цели и задачи работы. Стыодента. Для семейства распределений Стьюдента установлено соответствие между смешивающим распределением и распределением смеси. Построена аналитическая модель случайной компоненты, возникающей при регистрации магнитного ноля в задаче оценки наличия поверхностных дефектов изделия, найдены доверительные интервалы для регистрируемой величины, свидетельствующие о допустимости дефекта изделия. Теоретическая и практическая значимость. Разработанный метод расщепления масштабной смеси, в том числе полученные в работе аналитические представления плотностей распределений исследуемых случайных величин, носит прикладной характер и позволяет строить аналитические модели реальных процессов, характеризующихся непостоянством интенсивности потока событий, предельными распределениями для которых выступают распределения с тяжелыми
хвостами. Полученные значения необходимого объема выборки позволяют строить статистические выводы о виде аналитической модели с выбранным уровнем значимости. Методика исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач использовались методы и результаты теории вероятностей, математической статистики, имитационного моделирования. При проведении диссертационного исследования применялись методы математического анализа и численные методы. Достоверность результатов. Все сформулированные теоретические положения имеют строгие математические доказательства. Достоверность результатов подтверждена сопоставлением аналитических выражений вероятностных моделей исследуемых величин с результатами проведенных имитационных испытаний. Для оценки необходимого объема выборки использовались два альтернативных подхода, которые демонстрировали сравнимые результаты. Апробация работы.