Исследование некоторых нелинейных математических моделей с дискретной симметрией

• Автор: Рябов, Денис Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 164 с. : ил.

Оглавление
Введение.
Глава 1. Нелинейные нормальные моды и их устойчивость в цепочках с трансляционной симметрией .

1.1 Модель ФермиПастыУ.чама.

1.2 Понятие о бушах мод.

1.3 Понятие о нелинейных нормальных модах ННМ.

1.4 Вывод симметрийнообусловленных ННМ в модели ФермиПастыУлама.

1.5 Понятие об устойчивости бушей мод.

1.6 Устойчивость ННМ в модели ФермиПастыУлама

1.7 Диаграммы устойчивости ННМ в цепочке

1.8 Диаграммы устойчивости ННМ в цепочке .

1.9 Устойчивость ННМ в термодинамическом пределе оо .
1. Выводы
Глава 2. Дискретные бризеры в модели БуттаВаттиса
2.1 Понятие о дискретных бризерах.
2.2 Симметрийная классификация дискретных бризеров
2.3 Модель плоской квадратной решетки БуттаВаттиса
2.4 Метод численного построения дискретных бризеров
2.5 Результаты компьютерного моделирования
2.6 Выводы
Глава 3. Странные аттракторы в трехмерных диссипативных системах с точечной кристаллографической симметрией
3.1 Постановка задачи
3.2 Динамические системы, инвариантные относительно групп точечной симметрии
3.3 Странные аттракторы в трехмерных динамических системах
с квадратичными нелинейностями.
3.4 Некоторые общие свойства хаотических аттракторов
3.5 Регулярные и хаотические аттракторы в 2сиетеме.
3.6 Некоторые симметрийные аспекты динамики системы . .
3.7 Выводы.
Заключение.
Список литературы


Предложенные в главе 3 новые трехмерные диссипативные модели, демонстрирующие хаотическое поведение, могут использоваться для задач информационной безопасности, а двухпараметрическая система с симметрией ? В работе применяются теоретико-групповые, аналитические и численные методы исследования систем нелинейных дифференциальных уравнений. Достоверность результатов подтверждается согласием аналитических и численных расчетов, а также непротиворечивостью с известными в литературе данными. В математических моделях моноатомных цепочек с периодическими граничными условиями могут существовать только шесть или три нетривиальных симметрийно-обусловленных нелинейных нормальных мод (НИМ) Розенберга в зависимости от четности или произвольности потенциала межчастичного взаимодействия. Эти ННМ, явный вид которых приведен в тексте диссертации, являются точными пространственно-периодическими решениями для рассматриваемого класса математических моделей. Предложенный в работе метод построения диаграмм устойчивости симметрийно-обусловленных НИМ в динамических системах с дискретной симметрией позволяет выявлять ряд качественных закономерностей картины их устойчивости, в частности, выделять те совокупности степеней свободы, взаимодействие с которыми является причиной потери устойчивости рассматриваемой НИМ. Скейлинговые соотношения для цепочек Ферми-Пасты-Улама-/? Д > 0) для критической удельной энергии ес(Л0, при которой происходит потеря устойчивости НИМ при числе частиц А^—> оо, имеют вид: ес ~ 1/М2 (для 5 ЫНМ) и ес ~ 1/М (для одной ННМ). В результате анализа трехмерных диссипативных систем с квадратичными нелинейностями, являющихся инвариантными относительно кристаллографических точечных групп, показано, что только 6 из -х возможных систем демонстрируют хаотическое поведение при некоторых значениях своих параметров. Розенберга. Ферми-Пасты-Улама CV- и /5-типов. МММ В[а4,аг] в модели FPlJ-а и НИМ В[а6,аг,а3и] в модели FPU-/5 (? НИМ в модели FPU-/5 (? С помощью асимптотических методов в термодинамическом пределе (N —>ос) проведено аналитическое исследование скейлинговых соотношений для порога устойчивости НИМ в цепочке Ферми-Пасты-Улама /5-типа. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами компьютерного моделирования. Предложено классифицировать дискретные бризеры, являющиеся периодическими во времени и локализованными в пространстве решениями динамических уравнений для нелинейных гамильтоновых решеток, по подгруппам группы инвариантности этих уравнений. В рамках такой классификации с помощью математического моделирования нами были найдены дискретные бризеры с группами симметрии Cav, С4, Сг, См, локализованные, соответственно, в точках (), (~), (0|), (||) в плоской квадратной решетке Бутта-Ваттиса. Си Cs, С2, С7з. S4. С помощью компьютерного моделирования для них построены примеры хаотических аттракторов и проведена их классификация по подгруппам групп инвариантности этих систем. Среди вышеуказанных трехмерных динамических систем особый интерес представляет система с симметрией Д>, которая в отличие от трехпараметрических моделей Лоренца и Ресслера является двухпараметрической. Для этой системы исследованы симметрийно-обу-словленные инвариантные многообразия, построены карта областей регулярного и хаотического движений, бифуркационные диаграммы, аттракторы разных типов. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [—]. Из них 2 статьи опубликованы в престижных международных журналах, специализирующихся в области нелинейной динамики, именно, в «Physical Review Е» [] и «Physica D» [], а одна — в отечественном журнале «Известия вузов. Прикладная Нелинейная Динамика» []. В соавторстве с В. П. Сахненко и Г. М. Чечиным автором написана отдельная глава «Bushes of normal modes as exact excitations in nonlinear dynamical systems with discrete symmetry» [] (3 стр. Nonlinear Phenomena Research Perspectives» (NY: Nova Sci-• ence Publishers, ), переизданная также в монографии «New Nonlinear Phenomena Research» (NY: Nova Science Publishers, ).