Использование метода продолжения по параметру при численном решении задач, моделирующих сильное нелинейное деформирование в координатах Эйлера

• Автор: Агапов, Максим Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 112 с. : ил.

Содержание
Содежание
Введение.

1. Описание физикоматематической модели

1.1. Геометрия деформаций.

1.2. Уравнения равновесия.

1.3. Физические соотношения.

1.4. Уравнения продолжения решения

1.5. Описание численного алгоритма

2. Одномерная задача

2.1. Постановка задачи

2.2. Построение численного алгоритма
2.3. Анализ численных результатов.
2.4. Использование наилучшего параметра.
2.5. Выводы ко второй главе.
3. Двумерная задача.
3.1. Постановка задачи равномерного деформирования
3.2. Численная реализация равномерного деформирования.
3.3. Задача деформирования с появление эффекта Пуассона.
3.4. Выводы к третьей главе.
4. Трехмерная задача
4.1. Постановка задачи равномерного деформирования
4.2. Численные исследования.
4.3. Выводы к четвертой главе.
Заключение
Список литературы


Такая система позволяет использовать при решении хорошие известные методы интегрирования начальных задач, как-то схемы Эйлера, Рунге-Кутта, Адамса- Штермера и другие. В дальнейшем такой подход стал называться непрерывным продолжением. Так же Д. Давидеико отметил, что в качестве параметра продолжения решения можно использовать не только параметр задачи, но и любую из неизвестных. В [, ] было показано, что наилучшие вычислительные свойства обеспечиваются, если в качестве параметра продолжения используется длина вдоль кривой множества решений. На этой основе сформулирован метод продолжения по иаилучшему параметру или наилучшая параметризация [, ]. В книге [] показано, что метод продолжения по наилучшему параметру применим в любой математической задаче, решением которой является кривая или другое однопараметричс-ское множество. В [] рассмотрены задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, интерполяция и аппроксимация кривых и др. Численная реализация метода, осуществляемая в виде шагового процесса по параметру нагрузки и получившая название метода последовательных нагружений В. З. Власова, нашла применение в работах [, ]. Являясь, по существу, аналогом метода Эйлера, этот метод характерен тем, что в нем не предусмотрена компенсация погрешности вычислений, вызванной линеаризацией нелинейных уравнений на каждом шаге. Поэтому достижение требуемой точности может быть получено путем, уменьшения величины приращения нагрузки. Имеются такие варианты неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру с применением различных способов улучшения сходимости итерационных процессов типа метода Ныотона-Рафсона [, , , ]. В.З. Власовым, и В. Коши по параметру, методом Эйлера. Такое понимание метода последовательных нагружений впервые, по-видимому, было достигнуто в работе [], что позволило модифицировать его на основе схемы Рунге-Кутта, существенно повысив тем самым его точность и избавив его в значительной мере от накопления погрешности, особенно свойственной методу Эйлера. Работа [] посвящена реализации метода продолжения по параметру в геометрически и физически нелинейных задачах. Уравнения продолжения записаны в недеформированной конфигурации тела, параметром продолжения служит параметр длины интегральной кривой множества решений. Приводятся результаты численных расчетов. Работы [, 9, 3] посвящены исследованиям конечных упругопластических деформациям в лагранжевой и эйлеровой формулировках. Обсуждаются недостатки и преимущества той или иной формулировок, показано, что при определенных физических соотношениях оба подхода приводят к одинаковому результату. Книги [, ] посвящены изучению нелинейной теории упругости и применению этой теории в практических задачах. Автором проведены подробные исследованию в области механики твердого тела, в частности, приводятся примеры расчетов автомобильных шин. Исследованию напряженно-деформированного состояния различных конструкций с учетом геометрической нелинейности посвящены работы [, , , , , , 1, 8, 7, 9, 0, 2, 5]. В работе [] рассматриваются различные варианты постановок геометрически нелинейных соотношений и на примере некоторых задач показаны плюсы и минусы каждого из подхода. Оценена погрешность вносимая каждой из рассмотренных постановок. Работы |. В работах [, , , , , 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 3, 6, 2, 3, 4] в качестве скорости изменения напряжений используется производная Яуманиа тензора напряжений Коши, в [8] используется производная Трузделла. В статье [] рассмотрены как производная Яу-манна так и Трузделла. В [4] исследуются большие деформации геоматериалов. Используется модель Максвелла. В [] рассматриваются задачи о больших деформациях гиперупругих твердых тел в модернизированной лагранжевой постановке. Результаты научной деятельности автора нашли отражение в диссертации, которая состоит из введения, четырех глав и списка литературы из 6 наименований. Первая глава посвящена описанию физико-математической модели твердого тела, рассматриваемого на протяжении всей диссертации, выведены разрешающие соотношения в координатах Эйлера.