Математические модели и методы исследования локальной оптимальности нелинейных систем управления

• Автор: Кузнецов, Алексей Викторович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Рязань
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1 ЛОКАЛЬНАЯ ОПТИМАЛЬНОСТЬ УПРАВЛЕНИЯ

1.1 Построение моделей для некоторых реальных процессов

1.2 Постановка математической проблемы и её решение

1.3 Необходимые и достаточные условия локальной оптимальности

1.4 Различные случаи формы управления в системе

1.5 Случай нефиксированных моментов переключения управления .

1.6 Поиск оптимального управления градиентным методом

Глава 2 ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМ ВЫСШЕГО ПОРЯДКА

2.1 Условия знакоопределенности форм высшего порядка

2.2 Знакоположительность форм высшего порядка двух переменных 50 Глава 3 УСЛОВИЯ УПРАВЛЯЕМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ .
3.1 Существование постоянного управления
3.2 Существование кусочно-постоянного управления
3.3 Разрешимость задачи управления при различных условиях .... 76 Глава 4 МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
4.1 Моделирование условий существования локального минимума нелинейного функционала, заданного на решении системы дифференциальных уравнений
4.2 Применения теории знакоположительных форм
4.3 Моделирование управляемых систем в различных условиях свободы
Заключение
Список литературы
Приложение
Приложение
Приложение

Введение
Актуальность темы. В представленной работе изучаются математические и прикладные аспекты нелинейных моделей, приводящих к управляемым системам дифференциальных уравнений. Правая часть получаемых систем предполагается непрерывной по фазовым переменным и управлению.
Необходимость решения подобных задач возникает при математическом моделировании управляемых процессов физического, химического, биологического, экономического и других типов и подтверждается динамичными научными исследованиями
[12,18,20,45,46,48,53,55,69,80,81,96]', в виду наличия в модели процесса того или иного набора управляющих параметров, варьируя которые требуется получить наилучший результат по определенному критерию. Так, в модели реактивного движения подобными параметрами могут быть направление тяги и ее величина, а возможным критерием качества - расход топлива необходимый для определенного маневра, в моделях химических реакций этими параметрами могут являться массы реагентов и катализатора, температура, а критерием - концентрация или масса тех или иных соединений полученных в ходе химических реакций, в биологии модель «хищник-жертва» допускает управление численностью различных популяций или изменение условий среды обитания с целью поддержания баланса численностей данных видов, а в экономике такими управляющими параметрами являются размеры инвестиций в различные отрасли, налоги и т.п., а целевой функцией - максимизация прибыли, минимизация штрафа или другой экономический показатель.
Теория управления, а также ее раздел теория оптимального управления прошла огромный путь от «простых» задач поставленных еще Бернулли, Эйлером и другими классиками науки до современных глобальных проблем анализа сложных систем [26,36,65,74], в которых особенностью
1 Список литературы в конце работы приведен в алфавитном порядке.
исследований, как и настоящей работы, является многомерность фазового пространства и пространства управляющих переменных в соответствующих моделях, и что особенно важно - нелинейность исследуемых моделей.
Актуальность исследования заключается и в том, что на качество управления накладываются определенные ограничения, отражающие ограниченность возможностей приборов управления объектом или системой.
Так при создании приборов, управляющих какими-либо детерминированными процессами, в силу их технических характеристик приходится ограничивать тип управляющих воздействий. Например, запуск и отключение ракетного реактивного двигателя не могут производиться слишком часто. Сила тяги двигателя тоже не всегда может быть изменена. В электропоездах и тепловозах тоже имеются ограничения по варьированию тяги. В связи с этим возникает актуальная задача нахождения оптимального (в смысле некоторого критерия) управления из класса управлений, удовлетворяющих принятым ограничениям.
Большинство результатов по данной теме относятся к решению задач в достаточно широких классах управлений, таких как ограниченные, кусочнонепрерывные или измеримые вектор - функции [52]. Эти классы возникают по существу в математической теории управляемых систем при доказательстве существования решения в том или ином классе функций. В прикладных задачах подобные решения могут быть реализованы только приблеженно или с определенной погрешностью. Это связано также и с тем, что в реальных задачах решение не может быть получено в аналитическом виде или его вид не допускает простой реализации. Тогда решение приходится получать численным методом.
Это влечет за собой погрешности вычислений, погрешности вычислительных схем и т.п. При решении на ЭВМ рассматриваемых задач даже в классе непрерывных функций эти погрешности приводят к тому, что условие оптимальности полученных управлений выполняется только приближенно. Как было замечено [см. напр. 66, 89], в прикладных задачах
элементарно заменяется формой четного порядка и потому здесь опущено. Теорема доказана.
Теорема 1.9. Пусть имеет место разложение (1.34), причем
а) вектор / = 0, б) форма Ук(а) положительно определенная.
Тогда управления и{1) = 0 будет локально оптимальным в классе Ь(8), где 8 > 0 — некоторое число.
Доказательство При выполнении условия I - 0 и с учетом выбора формы <2и(а) равенство (1.34) примет вид
е е 5 выполнено неравенство Ук (е) > 0, то существует число у, > 0 такое,
следует существование такого числа, 8 > 0, что при любом а е Л(£), где
Теорема доказана.
1.5. Случай нефиксированных моментов переключения управления
Рассмотрим задачу (1-27), (1-29) из п. 1.4. Пусть
(х(?) = 0, и = О}, /е[/0,Г] - управляемый процесс, решающий задачу (1.4),
точек разрыва функции и (?), причем тк е (70, Т) при всех к е {1,2,...,ЛГ-1}. Общий вид допустимого управления определим равенством
і}. Так как для любого вектора
(1.34’)
что при любом ее5 следует, что Ук (е) > у,. Из того, что
(1.5), и(1) - это кусочно-постоянная вектор-функция, {тк }^=,1 - множество