Инволютивные методы исследования моделей, описываемых системами алгебраических и дифференциальных уравнений

• Автор: Блинков, Юрий Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 250 с. : ил.

Содержание
Введение .

Общая характеристика работы

Основные обозначения и определения

Глава 1. Инволютивное деление и инволютивные базисы

1.1. Базисы Грбнера .

1.2. Инволютивное деление мономов.

1.3. Инволютивный базис

1.4. Степенное деление Жане

Глава 2. Алгоритмы и структуры данных.

2.1. Минимальный инволютивный базис

2.2. Быстрый поиск делителя.
2.3. Инволютивный базис торических идеалов
2.4. Вычислительные стратегии построения инволютивного базиса
Глава 3. Специализированная система компьютерной алгебры IV
3.1. Описание основных структур
3.2. Примеры .
3.3. пакет .
Глава 4. Исследование математических моделей.
4.1. Метод конечных объемов для уравнения высших порядков .
4.2. Генерация разностных схем для уравнения Бюргерса.
4.3. Логистическое отображение .
г
Заключение
Литература


Для реализации было введено новое понятие — инволютивное деление мономов. Для инволютивных базисов разработан алгоритм построения минимальных инволютивных базисов, дающий каноническое представление. Для инволютивных алгоритмов построены критерии равенства нулю нормальной формы, позволяющие избежать ненужных вычислений. Разработаны наиболее оптимальные структуры данных для поиска инволютивного делителя, названные “деревом Жане”. Представлен полностью алгоритмический метод генерации разностных схем, использующий технику базисов Гребнера. Данный метод позволяет обобщить некоторые известные методы генерации разностных схем. Для уравнения околозвуковых течений Кармана-Фальковича получена принципиально новая схема с единым шаблоном в эллиптической и гиперболической области без схемной вязкости и переключателей. Для логистического отображения найдено значения р при котором происходит образование 9-и периодических циклов. Практическая значимость. Разработанные методы позволяют более эффективно, в сравнении с классическим методом Бухбергера, решать задачи широкого класса, сводящиеся к системам алгебраических, дифференциальных и разностных уравнений. На основе предложенных алгоритмов создана специализированная система компьютерной алгебры G1NV с открытым кодом, доступная . GINV используется в модуле Janet системе компьютерной алгебры Maple. Модуль INVBASE включен в качестве стандартного в систему компьютерной алгебры Reduce. Представлен полностью алгоритмический метод генерации разностных схем, использующий технику базисов Грёбнера. Данный метод позволяет обобщить традиционные методы генерации разностных схем. Эти обобщения приводят к новым, нестандартным и эффективным разностным схемам. Личный вклад соискателя. Вклад автора в реализацию специализированной системы компьютерной алгебры GINV, модулей Janet и INVBASE является основным. Все результаты, изложенные в единоличных публикациях, получены автором самостоятельно. Из совместных публикаций в диссертацию включены лишь те результаты, которые получены лично автором. Апробация работы. Международной конференции “Симпозиум по символьным вычислениям IMACS” (Lille, Франция, г. ОИЯИ (Дубна, , , , , , , , , гг. Международной конференции “Новые компьютерные технологии в системах управления” (Переславль-Залесский, г. Международной конференции “Интервальные и компьютерноалгебраические методы в научных вычислениях Interval’” (Санкт-Петербург, г. Современные тенденции в вычислительной физике (Дубна, , гг. Международных конференциях “Rhein Workshop on Computer Algebra RWCA” (Karlsruhe, Германия, г. Sankt-Augustin, Германия, г. Mannheim, Германия, r. Международной конференции “Приложения компьютерной алгебры IMACS/ACA” (Санкт-Петербург, Россия, г. Высшей технической школе Рейна-Вестфалии RWTH (Аахен, Германия, , , гг. Международной конференции “Компьютерная алгебра и ее приложения в физике СААР’0Г (Дубна, г. Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, г. Международных конференциях “Компьютерная алгебра в научных вычислениях CASC” (Konstanz, Германия, г. Passau, Германия, г. Kalamata, Греция, г. СЕТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ДЛЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ И ПРИЛОЖЕНИЯ” (Казань г. ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, г. Международной конференции “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Киев, г. Международной конференции “Computer Algebra and Differential Equations” (Turku, Финляндия, г. МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, г. Международной конференции “Полиномиальная компьютерная алгебра” (Санкт-Петербург, г. Публикации. Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложении. Работа изложена на 1 страницах машинописного текста, из них основного текста 6 страниц. Работа содержит рисунка, таблиц, описаний алгоритмов и одного приложения. Список литературы включает 1 наименований. И. = К[XI кольцо полиномов над полем К с независимыми переменными X = х,. V, V. Х . Р) = {1т(/) | / € ^} множество старших мономов из 1? V означает, что моном и делит моном у и С V означает, что моном и делит моном V и и фу.