Асимптотическое исследование контрастных структур в нелинейных математических моделях

• Автор: Петров, Александр Пхоун Чжо
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 221 с. : ил.

Содержание работы

Во введении дана общая характеристика диссертации, обоснована актуальность темы, сформулирована цель исследования, показана научная новизна и практическая значимость результатов.
Также, во введении очерчено место работы в общем контексте математического моделирования и приведен обзор теории сингулярных возмущений, ведущей свое начало от пионерских работ А.Н.Тихоиова . В этих работах были заложены основы теории сингулярных возмущений доказаны теоремы о предельном переходе. Исследования были продолжены Л.Б. Васильевой ученицей А.Н.Тихоиова, разработавшей метод пограничных функций , позволяющий для широкого класса сингулярно возмущенных задач строить равномерные асимптотические приближения решений. Одно из современных направлений развития метода пограничных функций это асимптотическая теория контрастных структур напр., , разрабатываемая в последние двух десятилетий А.Б.Васильевой, В.Ф.Бутузовым, Н.Н.Нефедовым и их учениками. Контрастными структурами называются решения сингулярно
Введение


Разработанная в первой главе методика прилагается к исследованию решений, описывающих структуры поля, называемые внутренними и внешними фронтами. Построены асимптотики решений ряда задач, результатам дана физическая интерпретация в частности, показано соответствие полученных результатов данным астрономических наблюдений. В Главе 3 предложенная методика прилагается к анализу модели системы властьобщество. Целью Главы 1 является разработка методики построения пространственновременной асимптотики асимптотической теории нестационарных контрастных структур для дифференциальных уравнений в частных производных параболического типа с кубической нелинейностью, возникающих при математическом моделировании ряда естественнонаучных и социальных объектов. В главе предложена методика построения асимптотики нестационарной контрастной структуры типа ступеньки, предполагающая, в частности, получение главного члена асимптотики выражения для скорости ступеньки. Методика апробирована на базовой задаче и ряде ее обобщений. В разделе 1. Ргхи рхи 1, 0. Уравнение 0. Условие 1 функции рх, рх непрерывно дифференцируемы при 0х. Условие 2 рх 0,1 срх 1 при х 0,1. Условие 3 существует х0 е 0,1 такое, что рл0 0, рх0 0. Рассматривается нестационарная контрастная структура типа ступеньки, т. Д, х 1. Доказана следующая теорема. Теорема 1. КрК 0. Тогда функция вида 0. Замечание. Наряду с краевыми условиями 4 рассматривалась также задача с условиями первого рода м0,,с Л,1,,с 7,. Была доказана теорема, аналогичная Теореме 1. Условие 4 1 0 1,1 Иг 1. Для оценки пределов применимости асимптотической теории проведена серия вычислительных экспериментов. С их помощью показано, что выражение 0. Приведем в качестве примера данные одного из экспериментов. Я и скорость ее движения Уехргт. Табл. Результаты показывают весьма высокую степень согласия результатов асимптотической теории с результатами вычислительного эксперимента вплоть до значения 0,. Таким образом, даже при не очень малых значениях е разработанная методика дает приемлемые результаты. Табл. В разделе 1. В теории сингулярных возмущений такой случай получил название критического здесь не выполняется условие 3 теоремы 1. Рис. Асимптотический анализ в этой ситуации затруднен тем, что некоторые из соотношений, являющихся в некритическом случае уравнениями для определения членов асимптотики, в критическом случае являются тождествами. Вследствие этого, для построения асимптотики некоторого порядка в критическом случае оказывается необходимым проанализировать уравнения для членов асимптотики следующего порядка. Введение
и
ихМ
7 о
X
а
Рис. С физической точки зрения, критический случай важен тем, что он часто возникает при наличии в задаче некоторой симметрии например, в случае нечетной по искомой функции правой части дифференциального уравнения. Например, указанная симметрия, обусловленная физической сущностью задачи, имеет место в моделях, рассматриваемых в главе 2. Таким образом, в разделе 1. Ое. В разделе 1. Конечный член дифференциального уравнения параболического типа является в данном случае периодической функцией времени, что приводит к существованию периодических режимов. На протяжении одного периода решение может менять структуру на одних временных интервалах фазах оно является чисто погранслойным, на других имеет внутренний переходный слой. При этом на некоторых фазах решение имеет вид нестационарной контрастной структуры, подобной рассмотренным выше. Условие 5 функция рх непрерывно дифференцируема при 0 х 1, функция рх непрерывно дифференцируема при 0 х 1, со Г оо. Условие 6 рх 0 при хе0,1. Т рх при х е 0,1. При указанных условиях получен главный член асимптотики нестационарной контрастной структуры, в частности главный член асимптотики скорости. Полученные результаты обоснованы с помощью теоремы о невязке, аналогичной теореме 1. В разделе 1. Аналогом точки перехода в двумерной задаче является кривая перехода, а контрастная структура типа ступеньки это решение, близкое к 1 по одну сторону от этой кривой, и 1 по другую. У рх,у 0. Вуе кривая перехода. Р2г,ричг,ри1 1 0. Уравнение 0.