Анализ стохастических аттракторов дискретных динамических систем

• Автор: Цветков, Иван Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 134 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение .

1. Анализ стохастической чувствительности равновесий и циклов

1.1 Стохастическая чувствительность равновесия

1.1.1 Коэффициент стохастической чувствительности

1.1.2 Алгоритм вычисления коэффициента стохастической чувствительности

1.1.3 Плотность вероятности стохастического равновесия

1.2. Стохастический цикл

1.2.1 Функция стохастической чувствительности

1.2.2 Алгоритм построения функции стохастической чувствительности

1.2.3 Характеристики ФСЧ

1.2.4 Плотность вероятности стохастического цикла
2. Система Форхюльста
2.1. Детерминированные аттракторы
2.2. Стохастические аттракторы
2.3. Универсальность роста стохастической чувствительности
2.4. Плотность вероятности
3. Система Эно
3.1. Детерминированные аттракторы
3.2. Стохастические аттракторы
4. Обратные стохастические бифуркации циклов
4.1. Формализация явления ОСБ
4.2. Эмпирический анализ одномерных систем
4.2.1. Схема эмпирического анализа ОСБ
4.2.2. Эмпирический анализ ОСБ циклов Ферхюльста
4.3. Анализ ОСБ одномерных систем с использованием аппарата ФСЧ
4.3.1 Схема анализа ОСИ
4.3.2 Анализ ОСБ циклов Ферхюльста
4.4. Анализ многомерных систем
4.4.1. Эмпирический анализ ОСБ циклов системы Эно
4.4.2. Анализ ОСБ систем с использованием аппарата ФСЧ
Заключение
ПРИЛОЖЕНИЯ
ЛИТЕРАТУРА


Для каждого состояния т, вводится значение функции стохастической чувствительности (ФСЧ). Как и в случае равновесия, с помощью функции чувствительности удобно строить оценки разброса состояний вокруг выбранной точки цикла Г. Далее доказывается теорема 2 о существовании функции чувствительности для экспоненциально устойчивого цикла произвольной кратности и приводится алгоритм поиска значений функции во всех точках цикла. По значениям функции чувствительности строится аппроксимация плотности вероятности в виде линейной комбинации нормальных распределений. Вторая глава посвсщсна приложению теории ФСЧ к анализу стохастически возмущенной модели Ферхюльста. В пункте 2. Я/ € [0,1]. Система Ферхюльста является простейшей одномерной системой демонстрирующей переход к хаосу через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода. Определенные для данной системы константы Фейгенбаума являются универсальными для широкого класса дискретных систем. В пункте 2. По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается функция чувствительности для каждого значения параметра д. Ее значения для каждой точки цикла сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных траекторий отточек цикла. При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. При изменении параметра /I стохастическая чувствительность аттракторов системы Ферхюльста существенно меняется. Здесь необходимо отметить всплеск чувствительности при приближении к точкам бифуркации и общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов. На основе метода ФСЧ получена эмпирическая оценка скорости ее роста в цеии бифуркаций удвоения периода. Эксперименты показали, что скорость роста не зависит от вида мультипликативного шума. Используя технику ренормгруппового анализа, данный факт удалось доказать теоретически. При этом была найдена универсальная константа роста чувствительности. В конце главы приводится сравнение аппроксимаций плотности вероятности, полученных с использованием аппарата ФСЧ, и гистограмм состояний стохастической системы Ферхюльста для равновесия и 2-цикла. В третьей главе результат общей теории ФСЧ из главы 1 используется при исследовании стохастически возмущенного двумерного отображения Эно. Е?1,* = Е? В пункте 3. Ь = 0. В пункте 3. По приведенному в главе 1 алгоритму рассчитывается матрица чувствительности каждого состояния при выбранном значении параметра д. Значения собственных чисел матрицы чувствительности сопоставляются с эмпирически полученной оценкой отклонений случайных траекторий отточек цикла. При малом уровне шума теоретические и эмпирические данные хорошо соответствуют друг другу. Для системы Эно приводятся графики собственных значений функции чувствительности. Аналогично одномерной системе Ферхюльста чувствительность двумерной системы Эно значительно возрастает в точках бифуркаций и имеет место общий рост чувствительности при увеличении кратности циклов. В конце главы приводятся примеры построения доверительных эллипсов рассеивания по значениям функции чувствительности и сравниваются аппроксимации плотности вероятности, полученные с использованием аппарата чувствительности и гистограммы состояний стохастической системы Эно для равновесия и 2-цикла. Следует отметить хорошее соответствие эмпирических данных и теоретических результатов. В четвертой главе описывается эффект обратных стохастических бифуркаций уменьшения кратности цикла при увеличении интенсивности шума. С ростом возмущений величина отклонений случайной траектории от детерминированного цикла растет и становится сравнима с расстоянием между соседними точками аттрактора. В результате, области рассеивания, соответствующие соседним точкам детерминированного аттрактора, начинают пересекаться между собой. При дальнейшем увеличении интенсивности после некоторого критического значения происходит их полное слияние. При соответствующем уровне интенсивности шума стохастический 2-цикл переходит в 1-цикл, стохастический 4-цикл - в 2-цикл и т. Описываемое в пункте 4.