Численная аппроксимация поля в задаче взаимодействия дипольных частиц

• Автор: Вяткин, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 132 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Обзор

1.1 Исторический обзор.

1.2 Модель дипольной частицы и упрощения.

1.2.1 Диполь и поле диполя

1.2.2 Однодоменная частица и е поле

1.2.3 Модель движения частиц

12.4 Примеры объектов моделирования

1.3 Численные методы интегрирования

2 Математическая модель

2.1 Постановка задачи
2.2 Поле частиц и уравнения движения.
2.2.1 Поле дипольных частиц.
2.2.2 Энергия.
2.2.3 Уравнения поступательного движения
2.2.4 Уравнения вращательного движения
2.2.5 Уравнения движения частиц с вращением.
2.2.6 Уравнения движения частиц в самосогласованном ноле
2.3 Начальные данные.
2.3.1 Электрическая дипольная частица
2.3.2 Магнитная дипольная частица
2.4 Обезразмеривание.
2.4.1 Задача взаимодействия электрических частиц
2.4.2 Задача магнитного взаимодействия
3 Вычислительные методы
3.1 Метод ячеек
3.2 Метод приближенного вычисления поля
3.3 Методы быстрого вычисления .
4 Численные методы интегрирования
4.1 Основные определения.
4.2 Схема второго порядка точности.
4.3 Схема четвертого порядка точности
4.4 Схема восьмого порядка точности
4.5 Реализация и использование методов
5 Комплекс программ
5.1 Структура комплекса.
5.1.1 Описание модулей.
5.1.2 Алгоритм моделирования.
6 Результаты и обсуждение
6.1 Диполи в плоскости.
6.2 Диполи на поверхности
6.3 Аппроксимация поля многих диполей
Заключение
Список литературы


Задачи моделирования поведения частиц, обладающих электрическим или магнитным дипольным моментом, возникают в разных разделах науки и технологии в последнее время все чаще. Это вызвано несколькими причинами. Одна из них связана с тем, что многие, даже простые несимметричные двухатомные молекулы за счет ионного смещения обладают электрическим дипольным моментом. Важнейшей из таких молекул является трехатомная молекула воды Н2О. Изучение многих эффектов в ряде случаев неминуемо натыкается на проявление взаимодействующих дипольных частиц. Причем круг таких задач с алгоритмической точки зрения довольно разнообразен. Например, в задачах для кристаллических структур у диполей можно пренебречь перемещениями, но необходимо учитывать вращательные степени свободы. В разреженной среде с крупными дипольными частицами перемещения играют не менее важную роль, чем вращения. Аналитических решений у подобных задач найдено немного. Это приводит к актуальной задаче создания эффективных вычислительных алгоритмов и комплексов программ для моделирования поведения частиц, обладающих электрическими или дипольными моментами, в результате их взаимодействия с учетом внешнего поля. Объектами исследования являются частицы, обладающие магнитным или электрическим дипольным моментом, а также математические модели их взаимодействия между собой и с внешним полем. Математическая модель частицы представляет собой абсолютно твердое тело с заданной массой и вращательными моментами инерции. Направление дипольно-го момента в частице жестко закреплено. В каждой из рассматриваемых задач участвуют либо только электрические диполи, либо только магнитные. Не рассматриваются задачи, в которых одновременно участвуют оба типа диполей. Цель диссертационной работы — моделирование взаимодействия большого числа (2 — °) электрических или магнитных дипольных частиц между собой и с внешним полем. В качестве метода исследования используется вычислительный эксперимент, включающий в себя следующие этапы: математическая формулировка задачи, построение численного алгоритма решения, программная реализация алгоритма, проведение расчетов, анализ полученных результатов. Математическая модель взаимодействия частиц, обладающих диполь-ными моментами, и метод приближенного вычисления создаваемого ими векторного поля; оценка относительной погрешности такого приближения для ряда случаев. Метод приближенного вычисления сил взаимодействия между диполями, реализованный с помощью экономичных процедур многократного применения быстрого преобразования Фурье. Научная новизна работы состоит в том, что для используемого метода аппроксимации поля дииольных частиц для ряда случаев впервые представлена оценка относительной погрешности аппроксимации. Фурье. Этот алгоритм позволяет снизить число арифметических операций при вычислении сил, действующих на частицы. Достоверность полученных результатов работы подтверждена использованием общепринятых и экспериментально проверенных подходов к математическому моделированию поля дипольных частиц и их взаимодействию между собой и с внешним нолем; проверкой и обоснованием точности использованных численных методов; сравнением полученных результатов с известными в научной литературе соответствующими теоретическими и экспериментальными результатами других авторов; например, результат моделирования действия слабого внешнего поля на тонкий бесконечный плоский слой равномерно расположенных дипольных частиц соответствует экспериментальным данным; хорошим совпадением результатов приближенных вычислений с известными результатами для-ряда тестовых задач. Теоретическая и практическая значимость Разработай эффективный инструмент математического моделирования, позволяющий рассчитывать состояния больших (2 — 5 частиц) коллективов дипольных частиц при различных начальных условиях и ограничениях. Вместе с тем, разработан метод аппроксимации поля дипольных частиц, позволяющий существенно уменьшать затраты на вычисление напряженности поля по всему объему, что может быть эффективно использовано в подобных вычислительных задачах большой размерности.