Численные и аналитические методы исследования задачи рассеяния на метрических графах

• Автор: Дедок, Василий Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 136 с. : ил.

Содержание
Введение

1. Задача рассеяния на графах

1.1. Одномерная задача рассеяния. Определение и основные свойства .

1.1.1. Прямая задача рассеяния.

1.1.2. Свойства данных рассеяния.

1.1.3. Матрица рассеяния.

1.2. Прямая задача рассеяния на графах

1.2.1. Определения и обозначения.

1.2.2. Задача турмаЛиувилля на компактных графах . .

1.2.3. Задача рассеяния на некомпактных графах.

1.2.4. Матрица рассеяния.
1.2.5. Произвольные граничные условия обеспечивающие
унитарность оператора рассеяния
1.2.6. Функция Грина.
1.2.7. Одномерное рассеяние для ступенча того потенциала .
1.2.8. Свободное рассеяния на. графе. Моделирование и доказательство теоремы о разложении
1.2.9. Рассеяние на произвольном графе.
1.3. Обратная задача рассеяния на некомпактных графах
1.3.1. Обратная задача рассеяния. Неединственность решения.
1.3.2. Доказательство существования решения
1.3.3. Задача лазерной томографии
2. Спектральная хирургия квантовых графов
2.1. Самоподобные графы. Моделирование рассеяния на конечноразветвленном графе Серпинского.
2.1.1. Графы Серпинского.
2.1.2. Конечноразветвленный граф Серпинского
2.2. Определение оператора рассеяния
2.3. Спектральная хирургия квантовых графов 1. Преобразование данных рассеяния
2.3.1. Склейка графов
2.3.2. Вычисление данных рассеяния дифференциальным способом
2.3.3. Склейка произвольных графов
2.3.4. Разрезание графов
2.4. Задача рассеяния для графа Серпинского
2.5. Спектральная хирургия квантовых графов 2. Преобразование спектра.
Локализация Андерсона в различных моделях
3.1. Результаты компьютерного моделирование локализации на конечноразветвленном графе Серпинского.
3.2. Модель случайного блуждания квантовой частицы
3.2.1. Классическое случайное блуждание.
3.2.2. Дискретное случайное блуждание на прямой квантовой частицы.
3.2.3. Параметризация случайного блуждания. Переход от блуждания Адамара к общему случаю.
3.2.4. Эволюция одномерного блуждания квантовой частицы
3.3. Квантовое блуждание и задача рассеяния. Доказательство соответствия двух моделей.
3.4. Возвратность блуждания квантовой частицы
3.4.1. Классические марковские цени.
3.4.2. Локализация в моделях квантового случайного блуждания и задачи рассеяния
3.4.3. Численное моделирования вероятности возвращения квантовой частицы.
3.4.4. Метод стационарной фазы для асимптотики вероятности возвращения квантовой частицы
3.5. Квантовая теорема Пойа. Классификация возвратных состояний блуждания квантовой частицы.
3.6. Компьютерное моделирование двумерного блуждания квантовой частицы .
Заключение
Список использованных источников


В работе разработана техника спектральной хирургии квантовых графов, впервые позволившая конструктивно подойти к задаче вычисления данных рассеяния на объектах произвольной сложности. Это позволит получить решения принципиально нового класса задач на объектах с самоподобной структурой. Практическая ценность работы. Разработанный метод позволяет существенно упростить численные вычисления данных рассеяния путем замещения части вычислений аналитическими результатами, на. Достоверность и обоснованность результатов подтверждена строгим применением методов теории рассеяния и дифференциального исчисления, а так же сравнением результатов решения задач методами прямого численного моделирования и аналитическими методами. Получены аналитические соотношения, описывающие преобразование спектральных данных и данных рассеяния для уравнения Шредингс-ра на компактных и некомпактных графах при операциях составления сложных графов из более простых подграфов. На основе полученных соотношений получено ренормализационное соотношение на коэффициенты матрицы рассеяния для оператора Шрсдингера для последовательных итераций конечно-разветвленного графа Серпинского. Доказана теорема разложения по путям для данных рассеяния оператора Шредингера на. На ее основе разработан конструктивный алгоритм решения задачи оптической томографии с точечными неоднородностями соответствующей восстановлению метрической и топологической структуры полного графа по данным рассеяния для оператора Шредингера на нем. Доказано взаимное соответствие моделей рассеяния на графах и квантового случайного блуждания. Методом компьютерного моделирования процесса рассеяния на последующих итерациях самоподобного графа Серпинского описаны характеристики антирезонансных состояний. Сформулирована гипотеза локализации для конечно-разветвленного графа Серпинского. Численно предсказан и аналитически подтвержден квантовый аналог теоремы Пойа о возвратности квантового случайного блуждания на прямой. Результат моделирования на решетках больших размерностей для различных матриц Адамара позволил сформулировать ряд гипотез, описывающих асимптотические свойства вероятности возвращения, представляющую собой меру локализации. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались в -г. В.Г. Романова, чл. И.А. Таймаиова, академика A. A. Боровкова и проф. A.М. Блохина в Институте математики им. С.Л. На международной конференции ’The 7th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology. KORUS-”. На конференции ’’Алгоритмический анализ неустойчивых задач”. На международной конференции ’’The 8th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology. KORUS-O4”. Tomsk. На всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям с участием иностранных ученых. На международной конференции ’The 9th Korea-Russian International Symposium on Science and Technology. KORUS-”. На международной конференции АМАДЕ. Па международной конференции ’’Обратные и некорректные задачи математической физики” посвященной -летию академика М. М. Лаврентьева. На региональной научной конференции молодых ученых ’’Наука. Техника. Инновации. Новосибирск, , гг. На всероссийской научной конференции молодых ученых ’’Наука. Техника. Инновации. Новосибирск, , , , , гг. Публикации. По теме диссертации опубликовано работ, в том числе ] работа в журнале из перечня ВАК. Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы из 8 наименований. Общий объем диссертации составляет 6 страниц, в том числе основной текст 9 страницы. В первой главе приводятся основные определения и базовые свойства исследуемых объектов: уравнение Шредингера на графах, прямая и обратная спектральная задача и задача рассеяния. В разделе 1. Шредингера, представлены основные свойства одномерной задачи рассеяния па прямой: раздел 1. Раздел 1. Шредингера на графах. В разделе 1. Раздел 1. Штурма-Лиувилля, состоящей в описании спектра оператора на. В разделах 1. Далее, в разделе 1. В разделе 1.