Разработка двухстадийных схем Розенброка с комплексными коэффициентами и их применение в задачах моделирования образования периодических наноструктур

• Автор: Лимонов, Александр Георгиевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 110 с. : ил.

Оглавление
Оглавление
Введение
Цель работы

Жсткие задали.

Жсткая устойчивость. б

Численные методы для жстких систем

Метод Розеиброка

Интерполяционные свойства схем

Оценка погрешности .

Символьные вычисления

Пористый анодный оксид алюминия
Уравнение КурамотоСинашинского .
Структура работы.
Публикации
Апробация работы.
1 Построение условий порядка
1.1 Запись в виде деревьев
1.2 Разложение точного решения .
1.3 Разложение численного решения.
1.3.1 Разложение первой стадии
1.3.2 Разложение второй стадии
1.4 Условия порядка.
1.5 Сходимость
1.6 Обобщение двухстадийных схем Розенброка.
1.7 Барьер точности для двухстадийных схем Розенброка.
2 Вычисление коэффициентов схем и анализ устойчивости
2.1 Функция устойчивости.
2.2 Решение системы уравнений условий порядка.
2.3 Коэффициенты схем и анализ функции устойчивости.
3 Тестирование полученных схем и оценка погрешности
3.1 Априорная оценка погрешности
3.2 Апостериорная оценка погрешности.
3.2.1 Пример 1. Проверка эффективного порядка точности.
3.2.2 Пример 2. Задача ПротероРобинсона.
3.2.3 Пример 3. Задача ВавДерПоля .
3.3 Вы боды.
4 Моделирование образования нанопор на поверхности оксида алюминия.
4.1 Математическая модель.
4.2 Численное решение.
4.2.1 Пространственная модель .
4.2.2 Экспериментальное уточнение параметра а
4.3 Сравнение результатов моделирования с физическими экспериментами .
4.3.1 Описание физического эксперимента
4.3.2 Эксперимент 1
4.3.3 Эксперимент 2
4.3.4 Эксперимент 3
4.4 Заключение
А Условия поряска
Литература


Она с одной стороны достаточно проста, чтобы выписать точное решение, а с другой хорошо иллюстрирует типичные трудности, возникающие при численном решении жёстких систем. Решением этой задачи является y(t) = eAf, которое стремится к 0 при I —> оо, когда 7? А) < 0. Для любой линейной схемы переход на следующий временной слой при решении задачи (4) имеет вид у — R{Z)y, где Я(0 называется функцией роста или функцией устойчивости зависящей от ? Ат. Определение 1. Cxc. Но для большой жёсткости даже Л-устойчн вести оказывается недостаточно для надёжной работы численного метода. Желательно, чтобы при Яе(0 —> ос функция устойчивости также сильно затухала, иначе жёсткие компоненты хотя и будут демпфироваться, но достаточно медленно, что приведёт к длительному процессу стабилизации. Определение 2. Метод называется L-устойчивым, если он является А-устойчивым и lim R(f) = 0. Дли оценки степени этого затухания вводят понятие ^устойчивости |3|. В этом случае функция устойчивости затухает пропорционально ? Определение 3. Схема называется Ly-устойчивой, если она является Л-устойчивой и Я(0 = 0{СР) при |? Как правило, жёсткий характер численного решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений проявляется не везде, а в некоторых областях, зависящих от конкретной постановки задачи. На жёстком участке ключевую роль играют свойства устойчивости схемы, на мягком участке - точность аппроксимации. Идеальным был бы метод, обладающий высоким порядком точности и удовлетворяющий повышенным требованиям к устойчивости. Определение Л-устойчивости, с одной стороны, слишком слабое, но, с Другой стороны, оно слишком сильное, что многие не так уж плохие методы не являются Л-устойчивыми [2]. Следующее определение сужает область устойчивости метода до сектора SQ = {? Определение 4. Определение 5. Схема называется Lpot-устойчивой, если |? Я(? СР) при |? Начиная с -х годов прошлого века, для жёстких задач стали создавать специальные неявные методы. Наиболее полный обзор методов решения жёстких систем содержится в монографии Э. Хайера и Г. Ваннера [2). Среди неявных схем широко распространены схемы Рунге-Кутта (IRK - implicit Runge-Kutta methods). He все схемы IRK подходят для решения жёстких задач. Огромное число работ посвящено схемам IRK, в |2| дан всеобъемлющий обзор IRK методов, пригодных для жестких задач, выделены методы, являющиеся жёстко точными (тем самым пригодными для ДАУ). Любой метод IRK для перехода на новый временной слой требует неоднократного решения системы, вообще говоря, нелинейных уравнений при помощи итераций ньютоновского типа. Для s-стадийного IRK минимальное число возникающих нелинейных систем s соответствует диагонально неявным методам (DIRK - diagonal implicit Runge-Kutta methods). Именно они чаще всего и используются на практике. В [2| исследованы диапазоны параметров методов DIRK, при которых схемы являются А и ^-устойчивыми. Наличие итераций сильно усложняет использование схем IRK, так как к проблемам устойчивости добавляется проблема сходимости итерационного процесса. Альтернатива, которая обходит эту трудность - ото методы типа Розенброка ROS и Розенброка-Ванпера ROW [2]. В том числе развитию таких методов посвящены работы В. Л.Новикова [4|, Н. Н.Калиткина [5], [6| и других авторов. Формально эти схемы неявные, но итераций в них не возникает и число арифметических действий для перехода на новый временной слой фиксировано и заранее известно (как в явных схемах). За это безусловное преимущество эти схемы получили название явно-неявных или полуявных. Среди одностадийных схем Розенброка выделяется схема с комплексным коэффициентом (CROS). К сожалению, эта схема до сих пор малоизвестна. Например, в классической монографии (2| она даже не упомянута. Применение схем типа Розенброка для интегрирования ДАУ рассмотрено в [7|, но там также исследованы только схемы с действительными коэффициентами. Многошаговые методы положены в основу популярных программ Гира [8]. Коэффициенты многошаговых методов подбираются так, что бы <7-шагопый метод имел точность 0(гч). Переход на новый временной слой для этих методов не требует итераций.