Приближенные методы и алгоритмы численного исследования задачи о бифуркации периодических решений в негладких динамических системах

• Автор: Шарафутдинов, Ильдар Вакильевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 140 с. : ил.

Оглавление

0.1 Введение

1 Бифуркации в гладких динамических системах

1.1 Динамические системы вводные сведения

1.1.1 Понятие динамической системы .

1.1.2 Непрерывные динамические системы .

1.2 Локальные бифуркации в динамических системах

1.2.1 Бифуркации в динамических системах

1.2.2 Бифуркация стационарных решений.

1.2.3 Бифуркация АндроноваХонфа

1.2.4 Теорема о центральном многообразии.

1.3 Приближенное исследование задачи о бифуркации.
1.3.1 Приближенное исследование бифуркации
стационарных решений .
1.3.2 Приближенное исследование бифуркации Андронова
Хопфа.
1.4 Алгоритм исследования устойчивости решений в задаче о
бифуркации АидроноваХопфа.
1.4.1 Описание алгоритма
2 Приближенное исследование бифуркаций в системах с негладкими нелинейностями
2.1 Динамические системы с негладкими нелинейностями
2.1.1 Мсистемы.
2.1.2 Примеры Мсистем .
2.1.3 Пример груз на транспортере .
2.2 Локальные бифуркации в негладких динамических системах
2.2.1 Бифуркация стационарных решений
2.2.2 Бифуркация АндроноваХопфа.
2.3 Бифуркация периодических решений в двумерных негладких
системах.
2.3.1 Модельный пример.
2.3.2 Пример модель управления ориентацией
деформируемого космического аппарата ДКА .
3 Алгоритмы исследования устойчивости
3.1 Основные результаты об устойчивости
3.1.1 Основные утверждения.
3.1.2 Алгоритм исследования устойчивости
бифурцирующих решений в задаче о бифуркации
АндроноваХопфа
3.1.3 Пример система Лэнгфорда
3.1.4 Пример система Лоренца
3.1.5 Пример модель Льенара.
3.2 Доказательства теорем 3.2 и 3.3
3.2.1 Вспомогательные утверждения
4 Моделирование бифуркационных явлений конусного тина
4.1 Постановка задачи и основное утверждение.
4.2 Схема доказательства теоремы 4.1.
4.2.1 Переход к интегральному уравнению .
4.2.2 Свойства интегрального оператора 4.5
4.2.3 Функционализация параметра
4.2.4 Переход к вспомогательному уравнению.
4.2.5 Оценка норм компонентов решений ИЗ
Заключение..
Литература


Международной научной конференции “Дифференциальные уравнения и смежные проблемы” (г. Стерлитамак, - июня г. Башгосуниверситета (руководитель — д. Султанаев Я. Т.), кафедры алгебры и геометрии Магнитогорского госунпверситета (руководитель — д. Смолин iO. H.), кафедры математического анализа Стерлитамакской государственной педагогической академии (руководитель — д. Калиев И. А.). Публикации. Основные результаты опубликованы в работах []— [3], при этом статьи [), [2], [3) опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. Личный вклад соискателя. Постановки основных задач принадлежат научному руководителю. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. При выполнении работ [] и [2], опубликованных в соавторстве, соискатель принимал участие в обосновании предлагаемых алгоритмов исследования устойчивости и разработке соответствующих программ. Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, одиннадцати параграфов, заключения и Приложения А. Общий объем диссертации составляет 0 страниц, включая иллюстраций и Приложение А. Библиография содержит 3 наименования. Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и основные задачи исследования, приводится обзор литературных источников, кратко излагается содержание работы. Глана носит вспомогательный характер. А — скалярный или векторный параметр. Предполагается, что выполнено условие: /(0, А) =0 . Систему (1) будем называть гладкой, если существует шар Т(0,6) такой, что для любого х <Е Т(0, 5) существует матрица Якоби /[. А), которая является непрерывной. Я(А) = /^(0, А), а функция а(х. А) = й2{х, А) 4- аз(х, А) 4- 6(х, А). А) и аз(х. А) содержит члены более высокой степени. Основными видами локальных (в окрестности решения х = 0) бифуркаций системы (1) являются бифуркации стационарных решений и бифуркация Андронова-Хопфа. Приведем соответствующие определения. Значение А0 называется точкой бифуркации стационарных решений для системы (1), если найдется последовательность Ап —> А() такая, что при каждом А = Ап система (1) имеет ненулевое стационарное решение хП) при этом ||х„|| —> 0, п —> сю. Значение Ао называют точкой бифуркации Андронова-Хопфа для системы (1), если найдется последовательность Хп —¦> Ао такая, что при каждом X — Хп система (1) имеет нестационарное периодическое решение х — хп(? Тп, при этом шах |хп( —» 0, п —» оо. В первой главе приводятся известные результаты относительно признаков локальных бифуркаций и используемые в диссертации схемы их приближенного исследования. Во второй главе изучаются негладкие динамические системы. Основным объектом в работе являются М-системы; опишем их. Предполагается, что выполнено условие: /'’(О) = 0. По содержит точку х — 0, при малых с*о > 0 она располагается “вблизи” нее. Наряду с (2. П+ = {х : (х, Ь0) > а0} , П_ = {х : (я, ) < а0} . Будем считать, что правая часть /Дх) системы (2. F+(x) и Г-(х) предполагаются гладкими (т. Функция Р0(х) также предполагается гладкой на гиперплоскости (2. Р+(х) или Р-(х) на гиперплоскость (2. Динамические системы, обладающие указанными свойствами, будем называть Л/-системами. В п. М-системах, а также некоторые задачи из механики, приводящие к соответствующим моделям. Приведем для иллюстрации две такие модели, исследование которых было проведено предложенными в диссертации методами. Пример 1: модель Лэнгфорда. Рисунок 1 — Семейство бифурцирующих решений системы Лэнгфорда. При моделировании турбулентности в жидкости О. Лэнгфордом были предложены модели, имеющие богатое бифуркационное поведение. В этой модели гладкость правой части нарушается на плоскости хз = 0. Л > 1/2 имеет семейство циклов в полупространстве хз < 0, стягивающихся к нулю при Л —> 1/2 + 0 (см. Рисунок 1). Пример 2: груз на транспортере. В качестве второго примера рассмотрим задачу о моделировании движения груза на транспортере (см. Рисунок 2). Груз прикреплен пружиной к неподвижной стене. Пусть к — жесткость пружины, Ртр — величина сухого трения, параметр 6 характеризует вязкое трение.