Моделирование в задачах оптимального выбора времени начала страхования и профилактики

• Автор: Расова, София Станиславовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Оглавление
Введение

Глава 1. Модель страхования при немонотонной деградации

1.1 Постановка задачи.

1.2 Модель деградации в виде процесса регенерации.

1.3 Кусочномонотонная полумарковская модель .

1.3 Начало страхования при деградации диффузионного вида .

Глава 2. Модель профилактики

2.1 Постановка задачи.

2.2 Модель деградации в виде процесса регенерации

2.3 Диффузионная полумарковская модель деградации.

Глава 3. Винеровский процесс в качестве модели деградации
3.1 Решение дифференциальных уравнений в случае винеровского
процесса
3.2 Винеровская модель при наличии предсказуемых отказов .
3.3 Винеровская модель без предсказуемых отказов
3.4 Винеровская модель со сносом в виде модели деградации .
3.5 Геометрический винеровский процесс в качестве опасности отказа
3.6 Интерпретация виперовской модели для задач страхования и
профилактики .
Заключение .
Литература


Эта модель используется в медицине, где регенерация интерпретируется как результат временного улучшения состояния пациента после некоторой лечебной процедуры (см. Багдо-навичюс и Никулин). Третьей рассмотренной моделью немонотонной деградации является полумарковский процесс диффузионного типа. Этот процесс используется в финансовой математике. При анализе технической системы диффузионная составляющая процесса деградации обычно понимается как статистический шум, вызванный ошибками измерения или неконтролируемыми внутренними причинами развития. Задачи страхования, связанные с моделью В, в последнее время получили широкое распространение. На русском языке современное состоя! В области страхования лучше всего исследован класс задач, связанный с оптимизацией поведения страховщика. Решением этих задач занимались многие выдающиеся математики, начиная с Крамера и Лундбсрга. В качестве примера работ, рассматривающих оптимальное поведение клиента, можно привести работу Норберга [], в которой, в частности, исследуется случай, когда клиенту предоставляется право выбора оптимального с его точки зрения условия страхования. В диссертации исследуется модель страхования и связанный с ней функционал цели, учитывающий интересы клиента. С точки зрения математического метода исследования задача о выборе оптимального режима отключений па профилактический ремонт (модель С) оказалась близка к задаче страхования. Проблемы профилактики в модели с детерминированным неубывающим процессом деградации впервые были затронуты в работах Р. Барлоу и Ф. Прошана [1]. Ситуация со случайной неубывающей деградацией была рассмотрена Б. П. Харламовым [], который высказал предположение, что оптимальные режимы профилактики при монотонной и немонотонной деградации не отличаются друг от друга. В диссертации на основании предложенной модели обслуживания технической системы рассматривается задача оптимизации правила профилактических остановок на ремонт для немонотонных случайных процессов деградации. Показано, что предположение Харламова в общем случае не выполняется, но подтверждается для диффузионных процессов деградации с положительным сносом. Для моделей страхования и профилактики была поставлена задача определить моменты остановки данных немонотонных случайных процессов деградации (процессов регенерации и диффузионных процессов), оптимальные относительно полученных функционалов цели. Классическая задача оптимальной остановки случайного процесса Хи I > О сводится к нахождению экстремума некоторого функционала цели, заданного на множестве марковских моментов т. В теории массового обслуживания, в теории надежности, в финансовой математике процесс Х1 интерпретируется как степень деградации системы, а т и Ут имеют смысл: ит = Р(? К — ^С~ -? С~Т)+- Здесь ? Функционал т характеризует потери, возникающие при слишком позднем сигнале остановки, когда нежелательное событие произошло до начала профилактических мероприятий. Функционал Ут характеризует потери, возникающие при слишком раннем сигнале остановки, когда плата за профилактические мероприятия перед нежелательным событием становится больше 1зедиола1 'аемого ущерба. Анализ функционала цели показывает, что если частные производные Я и Я'. Г, V) совпадают по знаку (здесь Я! Этому условию удовлетворяют моменты первого достижения некоторого уровня, но не только такие моменты. Решение задачи об оптимальной остановке зависит от вида функции Я, которая, в свою очередь, определяется рассматриваемой ситуацией и ее моделью. Следует отметить, что случай линейной функции Я реализуется в задаче об оптимальном выборе момента начала страхования с точки зрения клиента. В задачах профилактики (определение режима отключений некоторой технической системы на профилактический ремонт) функция Я имеет дробно-линейный вид. В диссертации рассматриваются эти два частных вида задачи об оптимальной остановке. В диссертации проводится исследование классической модели страхования невосстанавливаемой технической системы, когда функция потерь определяется средними потерями индивидуального клиента.