Математическое моделирование движения ансамбля частиц с использованием канонического метода интегрирования

• Автор: Германюк, Галина Юрьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 143 с. : ил.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1 МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1.1. Анализ подходов в исследовании систем

1.2. Ансамбль Гиббса в потенциальном поле.

1.3. Гамильтоновы динамические системы

1.4. Методы интегрирования динамических систем

1.5. Сравнительный анализ алгоритмов интегрирования.

1.6. Постановка цели и задачи выполняемого исследования.

ГЛАВА 2 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ.

2.1. Одномерный ансамбль Гиббса.

2.2. Консервативное возмущение в линейной и нелинейной системе

2.3. Обратимость времени в линейной и нелинейной системе
2.4. Математическая модель движения двумерного фазового ансамбля
2.5. Динамика двухатомной молекулы
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.
ГЛАВА 3 ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС МОДЕЛИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ АНСАМБЛЯ ЧАСТИЦ.
3.1. Методика моделирования и исследования движения ансамбля Гиббса.
3.2. Структура и работа программного комплекса
3.3. Отображение данных и сохранение изображения результатов
эксперимента
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ
ГЛАВА 4 ДИНАМИКА ОДНОМЕРНОГО КРИСТАЛЛА.
4.1. Энергия и температура системы.
4.2. Динамическая температура в одномерной системе.
4.3. Динамика ансамбля вблизи положения равновесия.
4.4. Консервативный нагрев ансамбля частиц
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
СПИСОК ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЙ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ В РАБОТЕ
1. Канонический метод метод численного интегрирования, в основе которого положены бесконечно малые канонические преобразования фазового пространства гамильтоновой механики. Процесс канонического интегрирования эквивалентен малому консервативному возмущению исследуемой динамической системы.
2. Гамильтонова механика раздел динамики описывающий динамическую систему на основе использования канонических уравнений, уравнений Г амильтона.
3. Малое возмущение 6 функции возмущение вида, Г 0 удовлетворяющее в каждой точке условию
Ит оп1, п I.
4. Консервативное возмущение динамической системы с гамильтонианом Н0 возмущение системы потенциальными или обобщеннопотенциальными силами. Произвольное возмущение 6 6 консервативно тогда и только тогда, когда оно не нарушает форму функции Гамильтона Н НН.
5. Консервативная система любая механическая система, движущаяся в стационарном не изменяющемся со временем потенциальном силовом поле при условии, что система свободна или наложенные на не связи являются идеальными и не изменяющимися с течением времени.
6. Динамическая система, механическая система Ньютона математический объект, обладающий свойствами детерминированности, конечномерности и дифференцируемости.
7. Динамический ансамбль или ансамбль Гиббса совокупность бесструктурных частиц подчиненным одним и темже законам движения и отличающихся друг от друга лишь начальными условиями.
8. Условие обратимости времени в динамике инвариантность детерминированного процесса относительно инверсии
Нарушение указанной инвариантности характеризует недетерминированный процесс.
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность


Выполнен обзор существующих численных методов и приведен сравнительный анализ устойчивости к накоплению погрешности для алгоритмов по каноническому методу и методу Эйлера на больших интервалах времени. На основе проведенного анализа определяется общая структура работы и этапы решения поставленных задач. Во второй главе проводятся исследования влияния малых консервативных возмущений, генерируемых алгоритмами канонического метода численного интегрирования в линейных и нелинейных системах. В качестве математической модели динамической системы был использован ансамбль Гиббса. Исследования влияния консервативных возмущений, моделируемых вычислительным процессом, осуществляются на следующих системах невзаимодействующих частиц с одной степенью свободы гармонический осциллятор, математический маятник с двумя степенями свободы движение в потенциальном поле 1 ода. Влияние консервативного возмущения в условиях межчастичного взаимодействия исследуется на компьютерной модели двухатомной молекулы. В качестве потенциала взаимодействия используется известный потенциал Леннарда Джонса. Проведена оценка влияния малых консервативных возмущений на исследуемые системы посредством относительного изменения функции Г амильтона. В третьей главе представлен разработанный программный комплекс, в основу которого положен канонический метод численного интегрирования динамических уравнений. Описывается структура и работа. Приведены опытные результаты работы программного комплекса исследования динамической модели из И 3 частиц. Полученные результаты показали устойчивость работы программного комплекса к накоплению погрешности. Использования в блоке интегрирования алгоритмов канонического метода численного интегрирования обеспечивают повышение точности и производительности компьютерного эксперимента. В четвертой главе приводятся результаты проведения компьютерного эксперимента, полученные на программном комплексе, при исследовании динамики одномерного ансамбля частиц в условиях попарного межчастичного взаимодействия. Для ансамблей из и 1 частиц исследовано влияние передаваемых импульсов в начальный момент времени. В ходе проведения компьютерного эксперимента было подтверждено, что использование канонического метода численного интегрирования в программном комплексе обеспечивает устойчивость систем к влиянию малых консервативных возмущений вблизи положения равновесия. При возрастании нелинейности системы и действия малых консервативных возмущений упорядоченное движение переходит в неупорядоченное. В главе выполнен обзор основных подходов в исследовании систем, рассмотрены численные методы интегрирования, а также приведена аналитическая оценка погрешности рассматриваемых методов. Приводятся математические модели динамических систем и алгоритмы численного интегрирования этих систем. Существует два основных подхода в исследовании систем статистический и динамический. Статистический подход постулирует существование систем, состоящих из большого количества частиц 4,5. В качестве критерия большого числа частиц обычно указывается число Авогадро Ил 6,2 I О моль1. В статистических системах состояние задается не значениями физических величин, а законами распределения, которые дают вероятности того, что рассматриваемые величины принимают те или иные значения. Сами же величины являются случайными они не принимают определенных значений в заданных условиях. То есть при использовании статистического метода интересуются не точным поведением каждой молекулы, а лишь закономерностями, характеризующими поведение очень большого числа частиц . Вследствие статистического подхода метод применим, прежде всего, к так называемым равновесным состояниям. Таким образом, принципиальным недостатком статистического подхода является использование средних от функций координат и импульсов, которые при описании неравновесных процессов приводит к неадекватным предсказаниям. Динамический подход. Известно, что молекулы, как и макроскопические тела, подчиняются законам механики. Поэтому можно рассчитывать молекулярные явления, опираясь непосредственно на законы механики.