Математическое моделирование и устойчивость капиллярно-гравитационных волн в слоях жидкости со свободной границей

• Автор: Андронов, Артем Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 126 с. : ил.

Содержание
Введение .
Глава 1. Существование и асимптотика семейств разветвляющихся решений задач о капиллярногравитационных волнах в пространственном слое флотирующей без флотации жидкости
1.1. Задача о капиллярногравитационных волнах в слое жидкости, занимающей полупространство .

1.2. Высокие вырождения линеаризованного оператора

1.3. Задача о капиллярногравитационных волнах в слое жидкости конечной глубины

Глава 2. Существование и асимптотика семейств разветвляющихся решений задач о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей
2.1. Задача о поверхностных волнах на горизонтальной границе раздела двух жидкостей, когда нижняя жидкость занимает полупространство

2.2. Высокие вырождения линеаризованного оператора

2.3. Капиллярногравитационные волны на границе раздела двух жидкостей конечной глубины

Глава 3. Решения, инвариантные относительно подгрупп допускаемой группы симметрии.

3.1. Группа симметрии прямоугольника.
3.2. Группа симметрии квадрата
Глава 4. Редуцированная устойчивость разветвляющихся семейств решений задач о капиллярногравитационных волнах
4.1. Критерии устойчивости решений задачи о поверхностных волнах в пространственном слое флотирующей без флотации жид
кости .
4.2. Устойчивость решений задачи о поверхностных волнах на границе раздела двух жидкостей .
4.3. Устойчивость решений задачи о капиллярногравитационных волнах на поверхности цилиндра
4.3.1. Задача на поверхности слоя жидкости на бесконечном цилиндре .
4.3.2. Задача о волнах на границе раздела двух жидкостей на бесконечном цилиндре
Заключение .
Список используемой литературы


Работа [] была первым применением методов группового анализа в симметрийной теории бифуркаций, конкретно к задаче о кристаллизации жидкого фазового состояния в статистической теории кристалла в случае высоких вырождений линеаризованного оператора. В диссертации О. В. Макеева [] и в предшествовавших работах [-] методы группового анализа для построения и исследования уравнения разветвления на основе теоремы о наследовании были применены к задаче о кристаллизации с симметриями старших кристаллических классов кристаллографических групп с определением подгрупповой структуры разветвляющихся решений согласно ’’Программе подмодели" академика Л. В. Овсянникова. Результаты о симметрии подгрупп были установлены также в работах [, ] для бифуркации Пуанкаре-Андронова-Хопфа (динамического ветвления) для разветвляющихся решений с симметриями плоских и пространственных кристаллографических групп с простой кубической решеткой. Западе и в Союзе шло с опережением советских математиков. В -х годах это направление на Западе и Востоке развивается по-разному. На Западе были опубликованы фундаментальные работы М. Голуби цкого, Д. Шеффера и И. Стю арта [] (не содержащие никаких ссылок на советские работы и даже на работы В. И. Юдовича) и А. Ван-дер-Бауведе []. Основным инструментом в этих работах явилась теория особенностей дифференцируемых отображений. Эти книги содержат различные приложения эквивариантной теории ветвления к задачам математической физики. Восходящие к Каччопполи вариационные методы в теории бифуркаций в удачном сочетании с теорией особенностей дифференцируемых отображений разрабатываются в Воронежской школе Ю. Г. Борисовича. К). К бифуркационным задачам с нарушением симметрии относятся задачи о капиллярно-гравитационных волнах в слоях жидкости, восходящие к знаменитым работам А. И. Некрасова, Т. Леви-Чивпта [] и Д. Стройка []. А.И. Некрасов, используя теорию конформных отображений, приводит плоскую задачу о гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном к эквивалентному нелинейному интегральному уравнению, которое решает далее методом неопределенных коэффициентов (Некрасова-Назарова) при разложении решений по целым или дробным степеням малого параметра. В работах [] и [] были использованы принципиально другие методы. Технически более сложная задача о капиллярно-гравитационных волнах на границе раздела двух жидкостей была исследована Н. Е. Кочиным [8]. Обзор дальнейших результатов по теории поверхностных волн и, в частности, результатов академика H. H. Моисеева и А. М. Тер-Крикорова содержится в []. В работах Я. Существенно более трудная задача о пространственных гравитационных волнах, основанная на ветвлении от собственного значения внутри непрерывного спектра, решена П. И. Плотниковым []. Коллективная монография под редакцией Л. В. Овсянникова [] содержит обзор работ по волновым движениям жидкости, выполненным в Институте Гидродинамики СО РАН. Сотрудничество Института Гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН и Университета ВАТ (Великобритания) интенсифицируется с начала нашего века. Здесь следует отмстить ряд совместных работ, выполненных П. И. Плотниковым и Дж. Ф. Толандом. Ряд задач теории капиллярно-гравитационных воли в слоях жидкости рассмотрен в работах Б. В. Логинова и его аспирантов. Это работы [],[],[],[] о капиллярно-гравитационных волнах в слое жидкости над ровным дном, в особенности в случаях высокого вырождения, [],[],[],[],[] о капиллярно-гравитационных волпах в пространственном слое флотирующей жидкости, [],[] о капиллярных волнах на границе раздела двух жидкостей конечной глубины, [8С],[] о капиллярно-гравитационных волнах на поверхности бесконечного цилиндра, [],|] о ветвлении и устойчивости периодических решений в задаче определения свободной поверхности магнитной жидкости (последовавшая за работой Твомбли []), в которой на поверхности покоящейся магнитной жидкости возникала ячеистая структура под воздействием магнитного поля. Отметим ряд работ об установившихся волнах конечной амплитуды на поверхности флотирующей! МГУ [],[]. В г.