Дискретизация сложных двумерных и трехмерных областей для решения задач математического моделирования

• Автор: Щеглов, Илья Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 175 с. : ил.

Оглавление
Введение.

0.1. Постановка задачи

0.2. Примеры задач в сложных двумерных и трехмерных областях

0.2.1. Задача об МГДнасосе.

0.2.2. Задача линейной упругости в композиционном материале.

0.2.3. Задача о движении пластинчатого лайнера в магнитном компрессоре

0.3. Требования к сеткам в сложных областях

0.4. Краткое описание известных алгоритмов триангуляции

0.5. Возможные подходы к дискретизации сложных областей

0.6. Обзор существующих программ для дискретизации.

0.6.1.
0.6.2.
0.6.3. ii.
0.6.4.
0.6.5. 3.
0.6.6.
0.7. Авторский программный комплекс
0.8. Содержание работы.
Глава 1. Методы дискретизации.
1.1. Методы оценки качества сетки
1.2. Классификация методов.
1.3. Прямые методы.
1.3.1. Методы на основе шаблонов.
1.4. Итерационные методы.
1.4.1. Методы граничной коррекции
1.4.2. Методы на основе критерия Делоне
1.4.3. Методы исчерпывания.
1.5. Некоторые методы улучшения сеток
1.5.1. Оптимизация расположения узлов, или сглаживание сетки.
1.5.2. Оптимизация связей
1.5.3. Сгущение сетки
Глава 2. Реализация методов и разработка программного комплекса.
2.1. Подходы к решению задачи дискретизации сложной области
2.2. Обзор проблем трехмерной дискретизации
2.3. Технические проблемы трехмерной дискретизации.
2.3.1. Проблема задания области
2.3.2. Проблема хранения сеток в оперативной памяти и на жестком диске.
2.3.3. Проблема контроля корректности сетки
2.3.4. Проблема визуализации и оценка качества.
2.4. Общий алгоритм решения задачи.
2.5. Двумерная триангуляция
2.5.1. Задание области.
2.5.2. Алгоритм триангуляции от угла без сгущения
2.5.3. Проверка корректности элемента сетки.
2.5.4. Алгоритм триангуляции от угла со сгущением.
2.5.5. Оптимизация двумерной сетки
2.6. Трехмерная дискретизация.
2.6.1. Задание области.
2.6.2. Алгоритм дискретизации от ребра.
2.6.3. Проверка корректности тетраэдра.
2.6.4. Оптимизация трехмерной сетки
Глава 3. Описание программного комплекса и примеры его использования
3.1. Описание программного комплекса i
3.1.1. Структура программного комплекса
3.1.2. Модуль i2
3.1.3. Модуль i2VI Vi I
3.1.4. Модуль i3
3.1.5. Модуль i3VI.
3.1.6. Модуль оценки качества сеток ii
3.1.7. Модули импорта геометрии
3.1.8. Экспорт данных
3.2. Примеры сеток и решенных на них задач
3.2.1. Модельная задача для уравнения Лапласа
3.2.2. Задача об МГДнасосс
3.2.3. Задача линейной упругости в ячейке композита
3.2.4. Задача о движении пластинчатого лайнера в магнитном компрессоре.
Заключение
Литература


Именно поэтому итерационные методы в основном и используются в современных программных комплексах. Недостатком этого класса методов являются ресурсоемкость, существенно меньшая скорость работы (по сравнению с прямыми методами) и меньшая надежность. Прямых методов разработано немного (из-за ограниченной возможности их использования); все они условно могут быть разделены на две тесно связанные группы: методы на основе шаблонов и методы отображения. Методы на основе шаблонов подразумевают разбиение областей заданного вида (параллелепипед, шар, цилиндр, и т. Методы отображения позволяют перейти от областей строгой геометрической формы к областям произвольного вида. Если возможно построить взаимнооднозначное отображение между заданной областью и областью какой-либо простой геометрической формы, то, разбив последнюю, можно отобразить полученную сетку на исходную область. Недостатком этого подхода, помимо сложности реализации, является искажение сетки при отображении, которое может существенно снизить качество триангуляции. Особым подклассом прямых методов являются методы дробления, которые основаны на принципе измельчения элементов уже построенной грубой сетки. В двумерном случае эти методы очень эффективны, так как любой треугольник можно разбить на 4 или 9 одинаковых и подобных ему треугольников (соответственно, потери качества при дроблении не будет). К сожалению, в трехмерном случае эти методы почти не применимы, так как тетраэдр подобным образом разбить нельзя. Тетраэдр можно разбить на меньшие тетраэдры несколькими способами, однако при этом будут получены тетраэдры худшей формы, что приведет к снижению качества сетки). Сетки, полученные прямыми методами, являются структурированными, т. Эго означает, что по индексам узла можно определить всех его соседей, а также вычислить координаты. Это важное свойство позволяет существенно экономить компьютерные ресурсы. Итерационные методы из-за своей универсальности получили наибольшее развитие. Разработано несколько различных подходов, которые можно разделить на три подкласса: методы граничной коррекции, методы на основе критерия Делоне и методы исчерпывания. Методы граничной коррекции являются самыми быстрыми из итерационных методов, но имеют ряд неискоренимых недостатков. Построение сеток в этих методах осуществляется в два этапа. На первом этапе производится триангуляция некой простой "супер-области", полностью включающей в себя заданную область. Как правило, эта супер-область представляет собой прямоугольник или параллелепипед, триангуляция которого осуществляется на основе одного из многочисленных шаблонов. На втором этапе все узлы полученной сетки, лежащие вблизи границы заданной области, проецируются на поверхность границы, а узлы, лежащие вне заданной области, удаляются. Чтобы компенсировать неизбежные геометрические искажения элементов сетки вблизи границ, часто дополнительно проводят еще один этап - этап оптимизации сетки, что в итоге позволяет получить достаточно хорошие результаты. Данный метод нельзя применять для дискретизации областей с заданной триангуляцией границ. Это существенное ограничение, а также другие сложности снижают популярность метода, сводя на нет его основное преимущество - высокую скорость работы. Сущность методов исчерпывания заключается в последовательном "вырезании" из заданной области фрагментов необходимой формы до тех пор, пока вся область не окажется "исчерпана". В англоязычной литературе этот метод получил название "advancing front", что также хорошо отражает идею метода. Исходными данными на каждой итерации является "фронт", то есть разбиение границы еще не "исчерпанной" части области. Каждый элемент границы является основанием для построения нового элемента сетки. При этом на каждой итерации может изыматься либо один элемент, либо сразу целый слой элементов. После изъятия элемента (-ов) "фронт" обновляется, после чего происходит переход к следующей итерации. Методы исчерпывания универсальны и могут быть использованы для областей произвольной формы и конфигурации (даже для неодносвязных и несвязных областей), что объясняет их популярность.