Алгоритмы восстановления тензорных полей с использованием локальных базисов и процедур послойного обращения

• Автор: Светов, Иван Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 143 с. : ил.

Оглавление

1 Численное решение задачи скалярной томографии

1.1 Постановка задачи.

1.2 Алгоритм восстановления функций, основанный на МНК с базисом, построенным на основе сплайнов

1.2.1 Общая схема МНК

1.2.2 Дискретизация задачи и се особенности.

1.2.3 Численные эксперименты

1.3 Сравнение алгоритма на основе МНК с базисом, построенным на основе Дсплайнов, с алгоритмами, основанными на формулах обращения .

1.3.1 Формулы обращения лучевого преобразования .

1.3.2 Численное сравнение алгоритмов.

1.4 Выводы
2 Численное решение задачи векторной 2Втомографии
2.1 Постановка задачи.
2.1.1 Определения.
2.1.2 Исследование свойств лучевых преобразований.
2.2 Алгоритм восстановления векторных полей, основанный на МНК с базисом, построенным на основе сплайнов
2.2.1 Дискретизация задачи и ее особенности.
2.2.2 Численные эксперименты
2.3 Сравнение алгоритма на основе МНК с базисом, построенным на основе Ясплайнов, с алгоритмами, основанными на формулах обращения .
2.3.1 Формулы обращения для продольного и поперечного лучевых
преобразований
2.3.2 Численное сравнение алгоритмов.
2.4 Выводы.
3 Численное решение задачи 2тензорной томографии
3.1 Постановка задачи
3.1.1 Определения
3.1.2 Исследование свойств лучевых преобразований.
3.1.3 Смешанное лучевое преобразование
3.2 Алгоритм восстановления 2тензорньх полей, основанный на МНК с
базисом, построенным на основе Усплайнов
3.2.1 Дискретизация задачи и ее особенности.
3.2.2 Численные эксперименты.
3.3 Сравнение алгоритма па основе МНК с базисом, построенным на основе УУсплайнов, с алгоритмами, основанными на формулах обращения .
3.3.1 Формулы обращения для продольного, смешанного и поперечного лучевых преобразований.
3.3.2 Численное сравнение алгоритмов.
3.4 Выводы.
4 Алгоритмы послойного восстановления векторных и симметричных 2тонзорыых нолей, заданных в 13, по неполным данным
4.1 Задачи восстановления векторного поля 3
4.1.1 Определения
4.1.2 Алгоритмы для решения 2Р и ЗУэзадач
4.1.3 Особенности численной реализации алгоритмов
4.1.4 Численные эксперименты.
4.2 Задачи восстановления симметричного 2тензорного поля в 3.
4.2.1 Определения
4.2.2 Алгоритмы для решения 3Р и бРзадач.
4.2.3 Особенности численной реализации алгоритмов
4.2.4 Численные эксперименты.
Выводы.
Введение
Актуальность


Основными элементами в формулах обращения, полученных в работе [], являются 3П преобразование Фурье и Э оператор обратной проекции. Цель диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка и исследование новых алгоритмов в задачах двумерной тензорной томографии (для симметричных тензорных полей валентности т ^ 2). Разработка и исследование алгоритмов восстановления соленоидальных частей трехмерных векторных и 2-тензорных полей. А также разработка научно-исследовательского программного обеспечения для реализации всех этих алгоритмов. Задачи исследования. Модификация алгоритмов восстановления симметричных тензорных полей ва-лентности тп < 2, основанных на методе наименьших квадратов (МНК), с использованием базисных элементов, построенных на основе двумерных Б-силайнов. Исследование свойств лучевых преобразований, в частности исследование их ядер и взаимосвязи друг с другом. Подробное исследование построенных алгоритмов для определения пределов их применимости. Сравнение предложенного алгоритма восстановления скалярных нолей с алгоритмом, основанным на МНК с использованием полиномиального базиса. Численная реализация алгоритмов восстановления симметричных тензорных полей валентности т ^ 2, основанных на формулах обращения, е целью сравнения с алгоритмами, предложенными в работе. Разработка алгоритмов для численного восстановления соленоидальной части трехмерных векторных и симметричных 2-тензорпых полей по их известным продольным лучевым преобразованиям. Разработка научно-исследовательского программного обеспечения для реализации всех предложенных алгоритмов. Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных тензорных полей валентности т ^ 2, основанные на МНК с использованием базисов, построенных на основе ? При решении задачи восстановления скалярных и векторных полей учитывалось явление рефракции. Локальность носителя базисных элементов позволила значительно сократить время вычисления их образов для лучевых преобразований. В случае же среды с прямолинейным характером распространения лучей используются точные формулы. Найдено разложение пространства двумерных симметричных 2-тензорных полей с потенциалами, обращающимися в нуль вместе с производными первого порядка на границе области, на три компоненты. Для сред с прямолинейным характером распространения лучей в Е2. При параллельной схеме сбора данных, впервые построены и численно реализованы алгоритмы для восстановления соленоидальной части трехмерных векторных и симметричных 2-тензорных полей по неполным данным. Методы исследования. Основные результаты работы получены с использованием интегральной геометрии тензорных полей, методов вычислительной математики, теории обратных н некорректных задач, методов математического моделирования. Для численного моделирования и программной реализации разработанных алгоритмов использовались методы прикладного программирования. Достоверность результатов. Достоверность полученных результатов и выводов обоснована теоретически, подтверждается анализом разработанных численных алгоритмов и проведением численных экспериментов. Практическая ценность работы. В работе предложены алгоритмы восстановления двумерных тензорных полей малого ранга. Впервые построены и реализованы алгоритмы восстановления соле-иоидальиых частей трехмерных векторных и 2-тензорных полей при параллельной схеме сбора данных. Все эти алгоритмы могут быть применены для обработки экспериментальных данных а) в физической томографии, б) при исследовании анизотропных сред, в) при решении задач геофизики, г) при решении задач теории упругости, и других областях. Основные положения выносимые на защиту. Разработаны алгоритмы восстановления двумерных симметричных тензорных полей валентности т ^ 2, основанные на МНК с использованием базисов, построенных на основе 5-сплайнов. Найдено разложение пространства симметричных 2-тснзорных полей с потенциалами. Получены оценки устойчивости лучевых преобразовав иий для векторного и 2-тензорного случаев, для сред с прямолинейным характером распространения лучей.