Устойчивый метод решения некорректно поставленной задачи Коши для уравнения теплопроводности

• Автор: Табет Адель Салех Абдулхак
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 154 с. : ил.

Оглавление
Введение.

Глава 1 Постановка задачи.

1.1 Физическая модель.

1.2 Математическая модель

1.3 Решение прямой задачи для плоскости поверхности.

1.4 Постановка обратной задачи и ес сведение к обратной задаче

потенциала

1.5 Замена обратной задачи потенциала на задачу продолжения

нестационарного температурного поля.

1.6 Формулировка задачи продолжения как задачи Коши .

Глава 2 Построение устойчивого решения некорректной
задачи Коши для уравнения теплопроводности
2.1 Обзор методов решения некорректно поставленных задач Коши
2.2 Общая постановка. Схема построения точного решения для
плоскости и для поверхности общего вида.
2.3 Устойчивое решение для произвольной поверхности.
2.4 Устойчивое решение для приближенно заданной поверхности
2.5 Устойчивое приближенное решение в случае неточных
данных на приближенно заданной границе
2.6 Решение задачи продолжения нестационарного температурного поля как смешанной краевой задачи
для уравнения теплопроводности
Глава 3 Вычислительные алгоритмы
3.1 Использование дискретных рядов Фурье для решения задачи
3.2 Дискретизация задачи и ее обоснование для точных данных
функций , д и поверхности 5
3.3 Вычисление коэффициентов Фурье функции Ф
3.4 Численные алгоритмы вычисления нормали к поверхности,
заданной приближенно.
3.5 Дискретизация задачи при неточно заданных входных
данных и поверхности.
3.6 Схема численного решения задачи 2.2.3
3.7 Вычислительные алгоритмы решения модельных задач . ИЗ
3.7.1 Вычисление потенциала для решения модельной задачи продолжения потенциала. ИЗ
3.7.2 Моделирование прямой задачи для формирования температурного поля
Глава 4 Вычислительный эксперимент
4.1 Численное решение задачи смешанной краевой задачи в
случае продолжения потенциала
Заключение.
Литература


Копти для уравнения теплопроводности и I юкорректн о поставлена. Во второй главе построено устойчивое приближенное решение некорректной задачи Коши для уравнения теплопроводности с данными Коши на приближенно заданной поверхности общего вида. В первом параграфе приведен обзор методов решения некорректно поставленных задач Коши. Во втором параграфе в явном виде построено точное решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в общей постановке, основанное на приведении задачи к интегральному уравнению Фредгольма первого рода. Отмечена проблема неустойчивости этого решения. В третьем параграфе на основе метода регуляризации Тихонова с использованием схемы, построенной в втором параграфе, строится устойчивое к погрешностям в данных Коши решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности. Сформулирована теорема о равномерной сходимости приближенного решения к точному. В четвертом параграфе поверхность 5 часть границы области, в которой ищется решение, задается на основе измерений, то есть, приближенно. Эта задача появляется в ходе решения смешанной краевой задачи при вычислении интеграла по части границы области, заданной приближенно, содержащего нормаль к этой поверхности. Такая задача является некорректно поставленной как задача численного дифференцирования. Построено приближенное устойчивое решение этой задачи, основанное на подходе В. А.Морозова к задаче вычисления значений неограниченного оператора. Доказана теорема о сходимости приближенного решения к точному. В пятом параграфе объединяются результаты предыдущих двух параграфов. В нем в явном виде построено приближенное устойчивое решение смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности в случае неточных данных на приближенно заданной границе. В общем виде сформулирована и доказана - с учетом неточных данных на неточной границе - сформулированная в третьем параграфе теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения к точному. В шестом параграфе получено приближенное устойчивое решение задачи продолжения температурного поля как смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности, приближенное устойчивое решение которой было построено в пятом параграфе. Доказана теорема о равномерной сходимости приближенного устойчивого решения к точному. В третьей главе приведены основные вычислительные алгоритмы, используемые в дальнейшем для проведения экспериментов, и дано их обоснование . В первом параграфе отмечена необходимость перехода к дискретным рядам Фурье, непрерывные аналоги которых использовались во второй главе при решении смешанной краевой задачи, введены дискретные ряды Фурье. Отмечена возможность использования «экономичных» алгоритмов. В третьем параграфе предложен и обоснован экономичный метод вычисления дискретных коэффициентов Фурье. В четвертом параграфе проведена дискретизация задачи вычисления нормали к поверхности, заданной приближенно, получены оценки разности непрерывных и дискретных рядов. В пятом параграфе проведена дискретизация смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности при условии использования приближенно заданных входных данных, получены оценки разности непрерывных и дискретных рядов. Сформулпропана теорема о равномерной сходимости дискретного приближенного решения смешанной краевой задачи для уравнения теплопроводности к точному. В шестом параграфе построена схема численного исследования задачи продолжения температурного ноля. В седьмом параграфе приведены вычислительные алгоритмы решения модельных задач. Эти решения используются потом в качестве входных данных при решении задачи продолжения. Приведены дискретные формулы для моделирования потенциала и его нормальной производной. Получены дискретные формулы для решения прямой задачи для формирования температурного поля на плоской и нсплоской поверхности. В четвертой главе приведены результаты вычислительного эксперимента на модельных примерах по продолжению нестационарных температурных полей как результаты обработки термографических данных.