Методы и проблемно-ориентированные программы математического моделирования динамических систем по фазовым портретам

• Автор: Волков, Сергей Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 318 с. : ил.

§ 0.1 Математические модели динамических систем и задачи их

изучения

§ 0.2 Обратные задачи динамики и теории дифференциальных

уравнений. Исторический обзор

§ 0.3 Основные понятия и положения качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости

§ 0.4 Общая характеристика диссертации

Глава 1 Постановка фундаментальной проблемы

§ 1.1 Введение

§ 1.2 Обозначения и предположения

§ 1.3 Фундаментальная проблема

§ 1.4 Исключительные кривые и нормальные области состояния

равновесия
Глава 2 Первая основная задача: выбор направлений сравнения и построение их направляющих векторов
§ 2.1 Введение
§ 2.2 Построение векторных полей направлений сравнения
§ 2.3 Метод исследования. Основная лемма

§ 2.4 Структуры состояний равновесия Ак
§ 2.4.1 Исследование направлений, не параллельных оси у
§ 2.4.2 Исследование направления х — О
§ 2.5 Структура состояний равновесия Д
§ 2.6 Структура состояний равновесия С}і
§ 2.7 Глобальные топологические структуры векторных полей
направлений сравнения
Глава 3 Вторая основная задача: аналитическое задание свойств фазового портрета
§ 3.1 Введение
§ 3.2 Выбор функций для задания свойств фазовых портретов
§ 3.3 Свойства нулей Д-функций
§ 3.4 Строение Д-функций состояний равновесия Ак
§ 3.4.1 Строение Д-функций вблизи исключительного направления, отличного от направления х = 0
§ 3.4.2 Строение Д-функций вблизи исключительного направления х = О
§ 3.5 Строение Д-функций состояний равновесия Д типа
фокус
§ 3.5.1 Д-функции систем уравнений, отличных от систем уравнений вида х = у, у = У (х, у)
§ 3.5.2 Д-функции систем уравнений вида х = у, у = У (х, у)
§ 3.6 Строение Д-функций в точках
§ 3.6.1 Д-функции систем уравнений, отличных от систем уравнений вида х = у, у = У (х, у)
§ 3.6.2 Д-функции систем уравнений вида х = у, у = У(х, у)
§ 3.7 Строение Д-функций фазового портрета в целом. Проблема согласования

§ 3.8 Дополнительные свойства решений фундаментальной проблемы
Глава 4 Математическое моделирование целенаправленного движения материальной точки на плоскости
§ 4.1 Введение
§ 4.2 Кинематическая и динамическая математические модели
движения точки
§ 4.3 Синтез кинематической модели движения точки
§4.3.1 Постановка задачи
§ 4.3.2 Построение вектора п
§ 4.3.3 Построение Д-функций состояний равновесия
§ 4.3.4 Построение Д-функций в области 17 в целом
Глава 5 Математическое моделирование относительных управляемых движений материальных тел
§ 5.1 Введение
§ 5.2 Кинематические и динамические математические модели
относительных движений твердых тел
§ 5.3 Математические модели и управление относительными колебаниями маятника на вращающейся платформе
§ 5.3.1 Постановка задачи
§ 5.3.2 Построение вектора п
§ 5.3.3 Построение Д-функций состояний равновесия
§ 5.3.4 Построение Д-функций в целом
§ 5.3.5 Построение управляющего момента

имеют вид у = /(х) или х — д(у), где/{х),д{у) — многочлены переменных хну соответственно. Для изучения поведения траекторий в окрестности состояния равновесия вблизи сепаратрисы, заданной неявным уравнением вида ш{х,у) =0, полезной оказывается изложенная ниже лемма.
При анализе разности Нк в окрестности соответствующего состояния равновесия Ак{хк, у к) приходится, как правило, выполнять разложения входящих в нее функций по степеням х — Хк, у — Ук■ Поэтому, не ограничивая общности дальнейших рассуждений и выводов, будем полагать для упрощения записи выкладок и формул, что Хк = Ук — 0.
Основная лемма. Еслиш(х,у) € С°°, (дш/ду)о ф 0, щ(0,0) = 0, а у{х) — = Хльа ак%ик ~ явное уравнение кривой и)(х, у) — 0, то после подстановки

У — X акХ,/к + ихУ (5 - и е (^> ^+0) (2.23)

в разложение суммы дш/дх 4- (дш/ду)ух по степеням х и у получим выражение, главный член которого имеет вид (ди>/ду)аиихи~1 при и € € и {дш/ду)0(-а3+1 + при и = и3+1, где (дш/ду)0
— значение производной дш/ду в точке (0, 0).
Доказательство. По условию леммы и>(х, у(х)) = 0 для данной у(х). Следовательно,
дш(х,у(х)) , дш{х,у{х)) ^ _А дх + ду 'Ух Пусть дш/дх = Тл+т=оъктХкут и дш/ду = 'Е+д=осРЯхРУ11 - СУТЬ разложения частных производных от функции ш по степеням х,у в точке (0; 0). В этом случае тождество (2.24) можно переписать в виде
00 / оо
XI Ьктхкут{х) + I X срчхРУЧ{х) ) у'х{х) = 0. (2.25)
к+тп=0 р+5=0
Выполнив подстановку у(х) — ак%1'к в (2-25), получим тождество
ОО ОО
X Ь&1 + X °пхП = 0) (2.26)
1=1 п