Приближенные методы моделирования и оптимизации управления на основе среднеквадратических аппроксимаций

• Автор: Блинов, Александр Олегович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Переславль-Залесский
• Количество страниц: 155 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. Общий подход к моделированию и оптимизации на основе срсднсквадратических аппроксимаций

1.1. Постановка задач и основные теоремы

1.2. Улучшение и приближенно оптимальный синтез управления

1.3. Алгоритм приближенного синтеза.

1.4. Алгоритм улучшения.

1.5. Выводы.

ГЛАВА 2. Методы среднеквадратичеекой многомерной аппроксимации и

их применение

2.1. Задача многомерной аппроксимации таблично заданной функции .

2.2. Основные конструкции МНК.
2.3. Возможные аппроксимирующие конструкции.
2.3.1. Композиционный полином.
2.3.2. Композиция сплайнов
2.3.3. Кусочнолинейная конструкция.
2.3.4. Описание экспериментов. Наблюдения и выводы
2.4. Применение многомерной аппроксимации в моделировании
2.5. Выводы.
ГЛАВА 3. Реализация разработанных алгоритмов в программном комплексе СОЫ
3.1. Описание программного комплекса 1ЭСОМ
3.2. Специальный интерфейс
3.3. Универсальный интерфейс. Взаимодействие I и
3.4. Выводы .
ГЛАВА 4. Прикладные задачи
4.1. Оптимизация маневров вертолета
4.1.1. Приближенный синтез оптимального управления, реализующего пространственный маневр вертолета
4.1.2. Ход решения.
4.1.3. Задача о нештатной посадке вертолета
4.2. Исследование магистральных решений
в задаче устойчивого развития региона.
4.2.1. Постановка задачи.
4.2.2. Поиск магистрального решения
4.2.3. Улучшение магистрали как дискретнонепрерывного процесса. .
4.2.4. Анализ решения
Заключение
Литература


Для задачи с закрепленным левым концом, свободным правым и при отсутствии ограничений вариация управления выбирается в виде 6и8(Ь) = ? УД? II = ф'/—/0, сопряженная система 'ф — — #Дг,. У>(? Ьр) — —РХ(Ьр,х. Более сложные схемы требуются при наличии ограничений на переменные управления и состояния. Здесь можно отметить, например, работы Р. П. Федоренко и В. Г. Гюрджиева [0, ]. Описание некоторых из градиентных методов можно найти в [7, 7]. Наряду с этим реализовались и другие методы, родственные градиентным, основанные на принципе максимума Понтрягина [5, 0, |. Н.Н. Моисеева [4[. Для линейных систем весьма эффективным оказался метод моментов [, ]. Методы первого порядка демонстрируют, как правило, высокую эффективность на первых итерациях и ее резкое снижение в окрестности оптимума. Это заставило обратиться к более сложным схемам построения алгоритмов и разработке методов второго порядка [2, 4, ). Они связаны с тейлоровской аппроксимацией функции Кротова-Веллмана и условий Веллмана в окрестности текущего приближения с точностью до малых второго порядка, что приводит к дифференциальным уравнениям для первых и вторых производных функции Кротова-Веллмана. Если при этом так же аппроксимируются правые части систем (1), (2) по переменным состояния и управления то получается метод слабого улучшения, а результирующий синтез управления оказывается линейным. Ряд таких методов для непрерывных и дискретных систем приведен в [, , ]. Иначе получаются методы сильного улучшения. Такого типа методы представлены в [4, , ]. У>(? U, x, У;) = max tf (? У>, ? Здесь 'ф и ст соответственно градиент и матрица вторых производных функции Кротова по компонентам х на опорной таектории. Уравнение для матрицы а представляет собой матричное уравнение Риккати, которое может и не иметь решения в одной из точек заданного отрезка (особая точка). В этом случае предложена специальная процедура сдвига особой точки в начало отрезка и модификация алгоритма []. Новые методы повлекли за собой новую проблему. Если близость соседних приближений в методах градиентного типа первого порядка регулировалась величиной шага по градиенту, то методы второго порядка потребован! Один из возможных подходов был сформулирован в || и получил название принципа локализации. Он использования в [, , , ]. Остановимся на этом подробнее. Ia = al + 1(1 - c) f [/3|Л*|2 + (1 - ? Ax = x — xl(t), Au = и — ul(t). В первой конструкции второе слагаемое является «штрафом» за отклонение от опоры по состоянию. Второй функционал содержит еще одно слагаемое как «штраф» за отклонение и по управлению. Специальный подбор весовых коэффициентов позволяет регулировать близость соседних приближений. Это позволяет решать по единой схеме задачи поиска оптимального процесса путем итерационного улучшения и реализации найденного решения в форме синтеза оптимального управления в окрестности его траектории. При этом получаются матричные уравнения Риккати относительно коэффициентов функции Кротова и их дискретные аналоги. В общем случае они отличны от уравнений Риккати классической теории АКОР , 4|, и соответствующий им приближенно-оптимальный синтез управления, в общем случае, в отличие от синтеза в АКОР — нелинейный. Если положить о — 0 в уравнениях (4), (5), то получается метод первого порядка, отличный от градиентного. Методы улучшения, как первого, так и второго порядков, использовались для решения широкого круга прикладных задач [, , ). Эпоха освоения космоса привела к необходимости расчета траекторий перелета с одной планеты Солнечной системы на другую (Земля-Марс) и разработки алгоритмов передвижения шагающих аппаратов по поверхностям других планет. Особенность указанных задач состоит в том, что на заданном отрезке времени управляемый процесс разбивается на отдельные этапы, каждый из которых имеет свое описание либо в терминах дифференциальных, либо дискретных уравнений. Все эти этапы связаны общим функционалом. Такие процессы получили название сложных или многоэтапных. В настоящее время их часто называют гибридными.