Математические модели финансовых рынков и их приложение к задачам недропользования

• Автор: Мартынов, Михаил Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

Введение

0.1 Актуальность исследования.

0.2 Новизна полученных результатов.

0.3 Краткое содержание работы

1 Математический аппарат и методология исследования

1.1 Методология оценки производных финансовых инструментов .

1.2 Подход к определению цены опциона путем решения задачи Коши

1.3 Мартингальный подход к определению справедливой цены опциона

2 О построении арбитражной хеджирующей стратегии на рынке с

активами, зависящими от одинакового случайного фактора

2.1 Описание модели рынка

2.2 Начальнокраевая задача для аналога уравнения Блэка Шоулса .
2.3 Сведение 2.2.1 к полулинейному параболическому уравнению . .
2.4 Условия формирования контрастной структуры тина ступеньки .
2.5 Формирование КСТС в задаче 2.3.2
2.6 Численное решение задачи 2.5.1
2.7 Рассмотрение модели реального опциона в недропользовании . . .
2.8 Доказательство арбитраж пости и явный вид хеджирующей стратегии
3 О зависимости волатильности от доходности актива в рамках модели Хестона
3.1 Введение
3.2 Лемма об условном математическом ожидании.
3.3 Модель Хестона
3.3.1 Равномерное начальное распределение доходности
3.3.2 Гауссовское начальное распределение доходности
3.3.3 Степенное начальное распределение доходности с тяжелыми хвостами.
3.3.4 Улыбка волатильности и асимптотическое поведение при мапьтх временах
3.3.5 О модифицинациях модели Хестона.
3.4 Возможные приложения
3.4.1 Задача, возникающая в недропользовании
3.4.2 Оценка рейтинга компании по имеющимся котировкам акций
3.5 Заключение
4 Модель реального опциона в задаче определения величины стартового платежа за право пользования участком недр
4.1 Описание задачи.
4.2 Модель реального опциона в недропользовании.
4.3 Законы изменения объема разведанных запасов и цены на сырье .
4.4 Пример расчета стартового платежа.
Преимущества и недостатки метода реальных опционов в недропользовании .
Введение


Модель реального опциона в недропользовании. Законы изменения объема разведанных запасов и цены на сырье . Пример расчета стартового платежа. Преимущества и недостатки метода реальных опционов в недропользовании . Математическое моделирование в экономике является неотъемлемой частью современной теории финансовых рынков и теории инвестиций. Уже более лет в мире существуют организованные рынки производных финансовых инструментов и, в то же время, различные консалтинговые компании совершенствуют методы оценки инвестиционных проектов. В российской экономике биржевая торговля фьючерсами и опционами была организована несколько позже. Тем не менее, математический аппарат теории опционов стал часто использоваться как для нужд непосредственно срочного рынка, так и для разного рода вычислений в реальном секторе экономики. Как известно, российская экономика во многом зависит от положения дел в так называемом нефтегазовом секторе. До сих пор наибольший приток средств в бюджет наблюдается от налоговых поступлений с экспорта углеводородов, размер достоверно доказанных запасов которых велик в международном масштабе. Разумеется, на нефтегазовом рынке существует много проблем как чисто научного, так и прикладного характера см. Диссертация содержит три основных результата, два из которых теоретические. Они могут рассматриваться независимо от приложений. Однако их выводы позволяют получить инструмент для решения некоторых практических задач, в частности, возникающих в недропользовании. Третий результат чисто прикладной. Он касается оценки величины бонуса за пользование месторождением на его основе был создан программный комплекс. Остановимся подробнее на теоретической части исследования. В книге 2 содержится утверждение, состоящее в том, что на рынке существуют арбитражные возможности в случае, когда количество торгуемых активов превосходит число источников случайности. Некоторые варианты этого утверждения доказываются при помощи мартиигального подхода. В данной диссертации применен совершенно иной метод, опирающийся на свойства решений краевых задач полулинейных параболических уравнений см. М1, М4, М5. Метод позволяет, в частности, явно предъявить стратегию, приводящую к арбитражу. Арбитражная стратегия выписывается в предположении наличия на рынке двух активов, зависящих от одинакового случайного фактора. Тем самым, отсутствие арбитража иа реальном рынке можно проверить опытным путем если выбранная стратегия не реплицирует платежное обязательство, то арбитражной возможности, возникшей по причине дисбаланса количества активов и случайных факторов, не существует. Аналогично можно попробовать проверить наличие арбитражных возможностей. Вторая теоретическая задача связана с моделью Хестона, в которой рассматривается стохастическая волатильность. Как показали вычисления, результат сильно зависит от начальных условий. Л именно, важен вид распределения доходности в начальный момент времени. В частности, в случае с равномерным начальным распределением оценка волатильности как условное математическое ожидание совпадает с оценкой в виде безусловного математического ожидания. В более сложных ситуациях с гауссовским и степенным начальным распредс лением доходности удалось получить явные интегральные формулы для оценки волатильности. Анализ этих формул показал наличие эффекта улыбки волатильности около среднего значения на графике зависимости волатильности от доходности. Заметим, что ранее в финансовой математике в связи с моделью Хестона рассматривалась зависимость волатильности от цены исполнения. В практическом смысле на основании полученной оценки для волатильности был сконструирован рейтинговый показатель для определения инвестиционной привлекательности компании. Отметим, что введенный в качестве примера вариант рейтинга рассчитывается на основании фондовых показателей компании и может быть вычислен но ним на основании явных формул. Это позволяет оценить неизвестный параметр стандартного отклонения волатильности в условиях наблюдаемых котировок акций или иных котируемых активов см. М3, Мб, М7.